Empezando con teoría de números (V)

Problema 21

Fotografía de Iswanto Arif, disponible en Unsplash.

Problema 21: Calcula la regla de divisibilidad por $7$.


Veamos que, en esta ocasión, proceder como en ejercicios anteriores no dará lugar a establecer una sencilla regla para el criterio de divisibilidad del $7$. En efecto, consideremos el número de $n$ cifras $a_{n - 1} a_{n - 2}\cdots a_2a_1a_0$ en base $10$. Sabemos, por el Teorema Fundamental de la Numeración, que podemos expresarlo como

$$ a_{n-1}a_{n-2}\cdots a_1a_0 = a_0+a_110+ \cdots + a_{n-2}10^{n-2}+a_{n-1}10^{n-1}. $$

Para encontrar el criterio de divisibilidad del $7$ utilizaremos las propiedades de las congruencias sobre las potencias de $10$, buscando una condición sobre los dígitos del número $a_{n-1}a_{n-2}\cdots a_2a_1a_0$ de manera que

$$ a_0+a_110+a_210^2 + \cdots + a_{n-2}10^{n-2}+a_{n-1}10^{n-1}\equiv 0\pmod{7}, $$

esto es, dicho número sea múltiplo de $7$.

Ahora bien,

$$ \begin{aligned} 10&\equiv 3\pmod{7},\\ 10^2&\equiv 3^2\pmod{7}\equiv 9\pmod{7}\equiv 2\pmod{7},\\ 10^3&\equiv 3^3\pmod{7}\equiv 27\pmod{7}\equiv 6\pmod{7},\\ 10^4&\equiv 3^4\pmod{7}\equiv 81\pmod{7}\equiv 4\pmod{7},\\ &\vdots \end{aligned} $$

y comenzamos a atisbar que el criterio que podríamos extraer es ciertamente extraño y muy complicado de recordar, puesto que

$$ a_0+a_110+\cdots + a_{n-1}10^{n-1}\equiv (a_0 + 3a_1 + 2a_2 + \cdots)\pmod{7}. $$

Por lo que respecta a la divisibilidad de un número por $7$, conviene que tengamos a mano el siguiente resultado: ‘'un número de la forma $n=10d+u$, con $d>0$ y $0\leq u\leq 9$ es múltiplo de $7$ si, y solo si, $d-2u$ es múltiplo de $7$''.

Efectivamente, si suponemos cierto que $(10d+u)\equiv 0\pmod{7}$, es decir, que $n=10d+u$ es múltiplo de $7$, y aplicamos ahora propiedades de las congruencias sobre la forma del número $n$, llegamos a que

$$ \begin{aligned} (10d+u)\equiv 0\pmod{7} &\Leftrightarrow (3d-6u)\equiv 0\pmod{7} \\ &\Leftrightarrow (3(d-2u))\equiv 0\pmod{7}, \end{aligned} $$

esto es, hemos arribado a que el producto de dos números es múltiplo de $7$, y como sabemos que el número $3$ no lo es, concluimos que $d-2u$ es múltiplo de $7$.

Recíprocamente, si $d-2u$ es múltiplo de $7$, $(d-2u)\equiv 0\pmod{7}$ y multiplicando por $10$, $(10d-20u)\equiv 0\pmod{7}$. Ahora, como $(-20)\equiv 1\pmod{7}$, llegamos a que $(10d+u)\equiv 0\pmod{7}$, es decir, el número $n=10d+u$ es un múltiplo de $7$, quedando así la doble implicación probada.

Veamos en acción esta proposición con un par de ejemplos sencillos. Si $n=63 = 60+3$, entonces $d = 6$, $u=3$ y $d-2u = 6-2\cdot3=0$ que, efectivamente, es un múltiplo de $7$, luego $63$ asimismo lo es. Si $n = 9009$, tenemos que $d = 900$, $u=9$ y $d-2u = 900-2\cdot9=882 = 7\cdot126$, luego $d-2u$ es un múltiplo de $7$, por lo que podemos concluir que el número $9009$ también lo es.

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Alexis Sáez
Profesor de matemáticas

Cazador de problemas matemáticos en parajes opositores.

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