Enunciados propuestos (XLI)

Nos adentramos en un mundo complejo

Fotografía de Patrick Hendry, disponible en Unsplash.

Nueva entrega de enunciados propuestos de cara a la preparación de oposiciones para la especialidad de matemáticas. La colección completa está disponible aquí.


Ejercicio 1: Resuelve $a_{n+2} - 7a_{n+1} + 6a_n = 2n + 3$.


Ejercicio 2: Dada la sucesión definida por

$$ \begin{aligned} a_1 &= 2,\\ \forall n\in\mathbb{N}-{1}: a_n &= 5a_{n-1} + 3, \end{aligned} $$

calcula

$$ \lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{a_n}{5^n}}. $$


Ejercicio 3: Los cuatro primeros términos de una sucesión son $a_0 = a_1 = a_2 = a_3 = 0$ y la ley que cumplen es

$$ a_{n+4} + a_{n+3} + 2a_{n+2} + a_{n+1} + a_n = 12n. $$

  • (a) Halla $a_n$.
  • (b) Halla $a_{90}$.

Ayuda: $x^4 + x^3 + 2x^2 + x + 1 = (x^2 + 1)(x^2 + x + 1)$.


Ejercicio 4: Halla el conjunto de puntos de la variable compleja $z$ tal que $RE(z^2) > 2$.


Ejercicio 5: Halla la curva definida por

$$ RE\left(\frac{1}{z}\right) = \frac{1}{4}. $$


Ejercicio 6: Calcula $\sqrt{-15-8i}$.


Ejercicio 7: Resuelve $z^2 + (2i - 3)z + 5-i = 0$.


Ejercicio 8: Halla las raíces quintas de la unidad.


Ejercicio 9: Sean $r_i$, con $i=1,\ldots,5$, las raíces quintas de la unidad. Halla el valor de

$$ A = r_1^n + r_2^n + r_3^n + r_4^n + r_5^n. $$


Ejercicio 10: Calcula $(1+\sqrt{3}i)^n + (1-\sqrt{3}i)^n$.


Alexis Sáez
Alexis Sáez
Profesor de matemáticas

Cazador de problemas matemáticos en parajes opositores.

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