Enunciados propuestos (XLII)

Una mezcla entre complejos y geometría

Fotografía de Touann Gatouillat Vergos, disponible en Unsplash.

Nueva entrega de enunciados propuestos de cara a la preparación de oposiciones para la especialidad de matemáticas. La colección completa está disponible aquí.


Ejercicio 1: Sea

$$ z = \left(\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\right)^n + \left(\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}\right)^n. $$

Prueba que $z=2$ si $n$ es múltiplo de $3$ y $z=-1$ en cualquier otro caso.


Ejercicio 2: Escribe en forma binómica $e^{\sqrt{i}}$.


Ejercicio 3: Si

$$ z + \frac{1}{z} = 2\cos{t}, $$

calcula

$$ z^n + \frac{1}{z^n}. $$


Ejercicio 4: Halla un número complejo que cumpla $z^5 = \overline{z}$.


Ejercicio 5: Desde un punto exterior a un círculo se trazan dos secantes. El segmento interno (cuerda) de la primera secante mide $47$ m y el externo $9$ m. La cuerda de la segunda secante sobrepasa al segmento externo en $72$ m. Determina la longitud de la segunda secante.


Ejercicio 6: En el interior de un círculo de radio $13$ cm se da un punto $M$ que dista $5$ cm del centro del círculo. Por $M$ se traza una cuerda $AB$ que mide $25$ cm. Halla la longitud de los segmentos en que el punto $M$ divide a la cuerda $AB$.


Ejercicio 7: Dada $x^2 + y^2 = 4$, halla la potencia del punto $(3, 3)$.


Ejercicio 8: Calcula $3^i$.


Ejercicio 9: Calcula $\log_{1 + i}{(8 - 8i)}$.


Ejercicio 10: Resuelve

  • (a) $\cos{(z)} = 2$.
  • (b) $\sin{(z)} = 4$.

Alexis Sáez
Alexis Sáez
Profesor de matemáticas

Cazador de problemas matemáticos en parajes opositores.

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