Un polinomio que solo toma valores enteros

Problema 25: Para cada entero no negativo $n$, se considera el valor $P(n)$, $$P(n) = \dfrac{n^7}{7} + \dfrac{n^3}{3} + \dfrac{11n}{21}.$$

  • (a) Demuestra que en $\mathbb{Z}_3$ y en $\mathbb{Z}_7$ se verifica que $3n^7 + 7n^3 + 11n = 0$.
  • (b) Demuestra que $P(n)$ es un entero.

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Un curioso criterio de divisibilidad

Problema 24: Escribe los divisores de $1001$. Considera ahora $N = a_0 + a_1t + \cdots + a_nt^n$ y $S = a_0-a_1+a_2-\cdots+(-1)^na_n$, donde $t=1000$ y $a_n\in\mathbb{Z}$ y demuestra que $N\equiv S\pmod{1001}$. Deduce de ello un criterio de divisibilidad por $7$, $11$ o $13$ y aplícalo al número $312879645$.

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Empezando con teoría de números (VII)

Problema 23: Sea $n$ un número natural. Sea $A_n = 2^n+2^{2n} + 2^{3n}$.

  • a) Demuestra que para todo $n$, $A_{n+3}\equiv A_n\pmod{7}$.
  • b) ¿Para qué valores de $n$, $A_n$ es múltiplo de $7$?
  • c) Los números en base $2$, $1110$, $1010100$ y $1001001000$, ¿son divisibles por $7$?

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Empezando con teoría de números (VI)

Problema 22 (Comunidad Valenciana, 2006):

  • a) Halla la base del sistema de numeración en la que $3753_{(x} - 3586_{(x} = 189_{(x}$.
  • b) Una vez hallado el valor de $x$, deduce el criterio de divisibilidad entre $x-1$ de dicha base.
  • c) Después, justifica si alguno de los números dados es divisible por $x-1$ en dicha base.
  • d) Por último, pasa el primero de los números dados a base $9$.

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