Análisis de la convocatoria de junio de 2026 (extra) de la EBAU (Ciencias Sociales)

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Resumen

Bloque	Opción recomendada	Dificultad	Tiempo estimado
Álgebra	A	Baja	20 - 25 minutos
Análisis	B	Baja	20 - 25 minutos
Probabilidad	Única	Baja	10 - 15 minutos

Introducción

La convocatoria de la tarde para la prueba de EBAU correspondiente a Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II impacta a primera vista por la presencia de un logaritmo neperiano en el bloque correspondiente a análisis. Si bien es cierto que en la reunión de EBAU dejaron caer que no debíamos perder de vista el estudio de, al menos, las funciones logarítmicas y exponenciales, parecía una versión moderna del cuento de Pedro y el lobo (siempre se dice, nunca aparece).

Al final el lobo ha hecho acto de presencia y obliga a replantearse sesiones en el mencionado bloque para futuros cursos. En mi caso particular, admito que es una familia de funciones a las que he dado menos cariño del que se merecían. Aunque he abordado actividades similares a la propuesta en la opción 2. A., así como enunciados en la parte de representación de funciones que incluían logaritmos y exponenciales, sí que es cierto que mi enfoque con respecto a este tema ha sido muy tangencial en comparación con el tiempo invertido en otras familias de funciones.

Ahora bien, el resto de la convocatoria es bastante asequible, pues no se desvía en exceso de los patrones que se observan en cursos anteriores. Todos los ejercicios son “parecidos” a los de pruebas recientes y, además, la propuesta para el bloque de probabilidad ha sido, por su sencillez, un soplo de aire fresco para los ejercicios a los que nos tenían últimamente acostumbrados.

Ejercicio 1. A.

Una empresa dedicada al desarrollo de videojuegos dispone de tres equipos de trabajo: uno formado por $8$ personas encargadas del diseño de los personajes, otro compuesto por $15$ personas responsables de la creación de las pantallas del juego, y un tercero de $14$ personas dedicado al sonido y la ambientación. La empresa desarrolla juegos de consola y juegos de ordenador. Cada juego de consola genera un beneficio diario de $100$ euros, mientras que cada juego de ordenador produce un beneficio diario de $90$ euros. Para la elaboración de ambos tipos de juegos se requiere una persona del equipo de diseño de personajes. Además, para el diseño de las pantallas de un juego de consola se necesitan dos personas y para el de un juego de ordenador se necesita solo una. Para el sonido y la ambientación de un juego de ordenador se necesitan dos personas y para un juego de consola solo una. Se pide:

• a) ¿Cuántos juegos de consola y cuántos de ordenador se tienen que hacer para que el beneficio diario sea máximo?
• b) ¿Cuál es el beneficio diario máximo?

Comentario: propuesta clásica de programación lineal, con una región factible acotada de cinco vértices. Tanto dicha región factible, como las restricciones a imponer al problema, son fáciles de extraer del enunciado y no hay ninguna sorpresa desagrable escondida. Como siempre, el único contratiempo de este tipo de propuesta es la cantidad de tiempo a invertir para que su resolución quede completamente justificada.

En mi opinión, a la vista del sistema de ecuaciones propuesto en la siguiente actividad, esta era la opción a abordar del bloque de álgebra.

Ejercicio 1. B.

Una empresa estudia los precios de la subscripción a las plataformas de streaming Metfilm, Lamparx y Tuing. En el año 2023, con $1850$ euros se pudieron contratar $40$ subscripciones a Metfilm, $50$ a Lamparx y $20$ a Tuing. En 2024, Metfilm y Lamparx subieron la cuota $1$ euro mientras que Tuing mantuvo el precio y, con el mismo presupuesto, se tuvieron que reducir $2$ subscripciones de Metfilm y $3$ de Lamparx, pero se pudo mantener el número de subscripciones a Tuing. Teniendo en cuenta que Metfilm era $5$ euros más cara que Lamparx en el año 2023, calcula el coste de subscripción de cada compañía en cada año.

Comentario: un ejercicio a resolver mediante el planteamiento de un sistema de ecuaciones en el que, como ya resulta habitual, dos ecuaciones son sencillas de formular y la restante es un poco más enrevesada. El error típico aparece al olvidar los paréntesis, lo cual nos lleva a una respuesta absurda (coste de una subscripción por encima de los $3000$ euros, así como coste negativo para otra subscripción).

No obstante, dominados este tipo de planteamientos (hay propuestas similares en convocatorias recientes), sí que es cierto que es un ejercicio mucho más rápido de resolver que el propuesto en 1. A. Además, utilizando el método de Gauss para resolver el sistema de ecuaciones resultante, si se escoge el pivote adecuadamente, en dos operaciones queda la matriz ampliada escalonada.

Ejercicio 2. A.

Se considera la función:

$$ \begin{align*} f(x) = \begin{cases} \ln{\left(x^2 + a\right)}, & x\leq 1, \\ \left(x + 1\right)^2, & 1 < x \leq 4, \\ 5x + \dfrac{b}{x + 1}, & x > 4. \end{cases} \end{align*} $$

• a) Estudia la continuidad de la función y determina cuáles deben ser los valores de $a$ y $b$ para que sea continua en todo punto.
• b) Supongamos que $a = 54$ y que $b = 25$. Determina el máximo absoluto y el mínimo absoluto de esta función en el intervalo $[-1, 5]$.
• c) Calcula el área de la región delimitada por esta función, el eje $OX$, la recta de ecuación $x = 2$ y la recta de ecuación $x = 3$.

Comentario: ver un logaritmo neperiano en una función a trozos seguramente es una invitación directa a escoger la otra propuesta del bloque de análisis. Además, la ecuación logarítmica a resolver, aunque es inmediata, no es trivial, lo cual puede suponer también un importante freno para quien aborde este ejercicio.

Sin embargo, superados ese par de escollos y recordando cómo se deriva un logaritmo, es una propuesta muy clásica para este tipo de problemas. Existe un poco de inquina en el apartado b), pues el valor propuesto para el parámetro $a$ es cercano al obtenido en el apartado a), pero no igual, generándose en $x = 1$ una discontinuidad que debe tenerse en cuenta a la hora de estudiar los extremos absolutos.

Finalmente, la integral del apartado c) es un regalo, pues se trata de una función polinómica positiva en el intervalo de integración considerado.

Ejercicio 2. B.

Dada la función

$$ \begin{align*} f(x) = \dfrac{x^2 - 2x + 4}{x^2 - 4}. \end{align*} $$

Se pide:

• a) Su dominio y los puntos de corte con los ejes coordenados.
• b) Las asíntotas horizontales y verticales, si existen.
• c) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los máximos y mínimos locales, si existen, y el valor de estos.
• d) La representación gráfica de la función a partir de los resultados obtenidos en los apartados anteriores.

Comentario: en mi opinión, la opción ganadora del bloque de análisis. Un ejercicio muy clásico de representación de una función racional (de esos que abordamos muchos en clase y dejamos propuestos docenas de ellos). Salvando la inversión de tiempo que este tipo de problemas requiere y que los extremos relativos se alcanzan en puntos de coordenadas irracionales, poco más hay que añadir para esta propuesta.

Ejercicio 3.

Una consultoría realiza una prueba de calidad a nuevas empresas para detectar si tienen una gestión adecuada. Tras años de estudios, se ha llegado a la conclusión de que el $70\%$ de las empresas estudiadas están bien gestionadas y de que, en este caso, la prueba indica que está bien gestionada en el $90\%$ de los casos. Se sabe que la probabilidad de que la prueba detecte como bien gestionada una empresa que está mal gestionada es del $5\%$.

• a) Calcula la probabilidad de que una empresa esté mal gestionada y la prueba haya indicado que está mal gestionada.
• b) Si la prueba ha indicado que una empresa está bien gestionada, ¿cuál es la probabilidad de que la empresa esté bien gestionada?
• c) Calcula la probabilidad de que el resultado de la prueba sea incorrecto.

Comentario: ejercicio clásico de Bayes, con un enunciado para nada enrevesado y donde todos sus apartados son asequibles. Al no ver en la convocatoria de la mañana un ejercicio de distribuciones de probabilidad, personalmente esperaba encontrarlo aquí, pero parece que tendremos que esperar, al menos, a las propuestas de julio.

Aquí, organizando la información adecuadamente mediante un diagrama de árbol y poniendo atención a qué nos piden en cada apartado, está practicamente hecho. Es más, considero que, salvando el apartado b), es una actividad que se puede abordar perfectamente en los últimos niveles de la ESO.