La semana en problemas (S17)

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Esta semana se proponen algunos enunciados relacionados con límites.

Ejercicio 1

Calcula:

$$ \lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{\sum_{i=1}^{n}{i^2}}{n^3}}. $$

Ejercicio 2

Calcula:

$$ \lim_{n\rightarrow\infty}{\left(\frac{3}{1}\right)^{\frac{1}{n}}\cdot\left(\frac{4}{2}\right)^{\frac{2}{n}}\cdot\ldots\cdot\left(\frac{n+2}{n}\right)^{\frac{n}{n}}}. $$

Ejercicio 3

Calcula:

$$ \lim_{n\rightarrow\infty}{\sqrt[n]{n^2+1}}. $$

Ejercicio 4

Calcula:

$$ \lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{\ln{n!}}{n}}. $$

Ejercicio 5

Calcule:

$$ \lim_{x\rightarrow\infty}{\frac{x + \sin{x}}{x - \sin{x}}}. $$

Ejercicio 6

Calcule:

$$ E = \lim_{n\rightarrow\infty}{ \left[\frac{1}{1\cdot 2} + \frac{1}{2\cdot 3} + \ldots + \frac{1}{(n-1)n} + \frac{1}{n(n+1)} \right] }. $$

Ejercicio 7

Calcule:

$$ \lim_{n\rightarrow\infty}{ \frac{1}{n^2} \left[ \frac{2}{1} + \frac{3^2}{2} + \frac{4^3}{3^2} + \ldots + \frac{(n+1)^n}{n^{n-1}} \right] }. $$

Ejercicio 8

Calcule:

$$ \lim_{n\rightarrow\infty}{\sqrt[n]{\binom{n}{0}\binom{n}{1}\cdots\binom{n}{n}} }. $$

Ejercicio 9

Calcule:

$$ \lim_{n\rightarrow\infty}{\sqrt[n^2]{\binom{n}{0}\binom{n}{1}\cdots\binom{n}{n}} }. $$

Ejercicio 10

Estudie la continuidad de la función $f:[0, 1]\rightarrow\mathbb{R}$ dada por

$$ f(x) := \left\{ \begin{aligned} 0, & \quad\text{ si }x = 0\text{ o }x\notin\mathbb{Q} \\ \frac{1}{q}, & \quad\text{ si }x = \frac{p}{q},\ p,q\in\mathbb{N}^+,\ mcd(p,q)=1 \end{aligned} \right. $$

Ejercicio 11

Sea $f:[0, 1] \rightarrow [0, 1]$ una función real tal que

$$ f(x) = \left\{ \begin{aligned} x, & \quad\text{ si }x\text{\ es racional} \\ 1 - x, & \quad\text{ si }x\text{\ no es racional} \end{aligned} \right. $$

• (a) Estudie la continuidad en los puntos $x_0 = \frac{1}{2}$ y $x_1 = \frac{1}{4}$.
• (b) Estudie la derivabilidad en dichos puntos.

Ejercicio 12

Una semicircunferencia de radio $r$ se divide en $n + 1$ partes iguales y se uno un punto cualquiera de la división con los extremos, formándose un triángulo rectángulo de área $A(k)$. Se pide el límite, cuando $n\rightarrow\infty$, de la media aritmética de las áreas de esos triángulos.

Ejercicio 13

Sea $f\in\mathcal{C}^2(\mathbb{R})$ una función tal que:

$$ \lim_{x\rightarrow 0}{\left( 1 + x + \frac{f(x)}{x} \right)^{1/x}} = e^3. $$

Calcule razonadamente $f(0)$, $f'(0)$ y $f''(0)$.