La semana en problemas (S3)

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Esta semana se proponen algunos enunciados relacionados con los números enteros (teorema chino del resto, divisibilidad, congruencias y conjuntos finitos).

Ejercicio 1

Determina los números comprendidos entre $400$ y $500$ tales que al dividirlos por $6$ se obtiene de resto $5$, y que al dividirlos por $11$ den de resto $2$.

Ejercicio 2

Halla el resto de la división de $5^{38}$ entre $11$.

Ejercicio 3

Para cada $n$ número natural se define $A_n = 2^n + 2^{2n} + 2^{3n}$.

• a) Demuestra que, para cualquier valor de $n$, $A_{n+3}$ es congruente con $A_n$ módulo $7$.
• b) Encuentra para qué valores de $n$ se verifica que $A_n$ es divisible por $7$.
• c) Aplica este resultado para averiguar si los números que en el sistema de numeración en base $2$ se escriben $1110$, $1010100$ y $1001001000$ son divisibles por $7$.

Ejercicio 4

Demuestra que, para todo número natural $n\geq 1$, se cumple que $4^{n + 1} + 5^{2n - 1}$ es múltiplo de $21$.

Ejercicio 5

Encuentra todos los números naturales $m$ y $n$ tales que

$$ f(m, n) = 1 + 2^n + 2^{2n} + \cdots + 2^{mn} $$

sea múltiplo de 7.

Ejercicio 6

Considera el conjunto $\mathbb{Z}_n$, formado por los restos módulo $n$, con las operaciones habituales de suma y producto.

• a) Demuestra que la condición necesaria y suficiente para $\mathbb{Z}_n$ sea un dominio de integridad es que $n$ sea primo.
• b) Demuestra que $\mathbb{Z}_n$, con $n$ primo, es cuerpo.

Ejercicio 7

Encuentra el criterio de divisibilidad por $5$ en base $12$ y aplícalo al número $12x75_{(12}$, hallando $x$ para que sea divisible por $5$.