La semana en problemas (S4)

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Esta semana se proponen algunos enunciados relacionados con los números racionales y los números reales (incluyendo de topología de la recta real y del plano).

Ejercicio 1

Un barril contiene $a$ litros de vino y otro contiene $b$ litros de agua. Se toman $c$ litros de cada barril y se trasladan. Esta operación se repite cualquier número de veces. Prueba que si $c(a + b) = ab$, la cantidad de vino en cada barril siempre será constante después de la primera operación.

Ejercicio 2

En el cuerpo $\mathbb{Q}$ se define la relación binaria $R$ como sigue: dados $x\in\mathbb{Q}$ e $y\in\mathbb{Q}$,

$$xRy\Leftrightarrow \exists h\in\mathbb{Z}: x=\frac{3y+h}{3}.$$

• a) Prueba que es una relación de equivalencia.
• b) Determina el conjunto cociente.
• c) Razona si los elementos $\frac{2}{3}$ y $\frac{4}{5}$ pertenecen a una misma clase de equivalencia.

Ejercicio 3

Determina todos los pares $(a, b)$ de número racionales tales que $2a$ y $a^2 + 5b^2$ son números enteros.

Ejercicio 4

Un hombre repartió sus más de $2500$ ovejas (pero menos de $3000$) entre sus hijos Aitor, Begoña, César y Jon. César recibió tantas como la mitad de las que recibió Aitor más la tercera parte de las de Begoña. La cuarta parte de las que recibió César más la quinta parte de las de Jon suman tantas como las que obtuvo Aitor. Sumando la sexta parte de las de Begoña y la séptima parte de las de César, sale el número que recibió Jon. ¿Cuántas ovejas recibió cada hijo?

Ejercicio 5

Sean $a$, $b$, $c$ y $d$ números racionales y $x$ un número irracional. Determina la condición que han de cumplir $a$, $b$, $c$ y $d$ para que la fracción

$$\frac{ax + b}{cx + d}$$

sea un número racional.

Ejercicio 6

La necesidad de la existencia de los números irracionales se podría justificar al preguntarse por la existencia en $\mathbb{Q}$ del valor que determina la diagonal de un cuadrado de lado $1$.

• a) ¿Es dicha diagonal un valor de $\mathbb{Q}$? Justifícalo.
• b) Demuestra, asimismo, que $\sqrt{2}$ está comprendido entre $\frac{a}{b}$ y $\frac{a+2b}{a+b}$, siendo $a$ y $b$ números positivos cualesquiera.
• c) ¿Cuál de los dos extremos del intervalo anterior está más próximo a $\sqrt{2}$?

Ejercicio 7

Sea

$$ A = \left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : \{x^2 + y^2 \leq 4\} \cup \{P(2,2)\} \right\}. $$

Determina el conjunto de los puntos interiores, frontera, de acumulación, de adherencia y aislados. Indica, además, si es abierto, cerrado y/o compacto.

Ejercicio 8

Sea

$$ A = \left\{\frac{1}{n}, n\in\mathbb{N} \right\}. $$

Determina el conjunto de los puntos interiores, frontera, de acumulación, de adherencia y aislados. Indica, además, si es abierto, cerrado y/o compacto.

Ejercicio 9

Halla el interior, $Int(A)$; la adherencia, $Adh(A)$; el conjunto de los puntos aislados, $Aisl(A)$; el conjunto $A'$ de los puntos de acumulación; la frontera interna, $F_i(A)$; la frontera externa, $F_e(A)$; y la frontera, $F(A)$, del conjunto $A$ en los siguientes casos:

• a) $\displaystyle A = [-2,0) \cup (0,2] \cup \left\{\frac{10}{n}, n\in\mathbb{N}^*\right\}$
• b) $\displaystyle A = \left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:x = \frac{\pm 1}{n}, n\in\mathbb{N}^*, x^2 + y^2 \leq 1\right\}$
• c) $\displaystyle A = \left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:y = \frac{\pm 1}{n^2}, n\in\mathbb{N}^*, |x| + |y| \leq 1\right\}$