La semana en problemas (S5)

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Esta semana se proponen algunos enunciados relacionados con los números complejos.

Ejercicio 1

Los afijos $z_1$, $z_2$, $z_3$, $z_4$, $z_5$ y $z_6$ son los vértices de un hexágono regular. Sabiendo que $z_1=0$ y $z_4=4+6i$, halla $z_2$, $z_3$, $z_5$ y $z_6$.

Ejercicio 2

Sean $r_1$, $r_2$, $r_3$, $r_4$ y $r_5$ las raíces quintas de la unidad. Estudia qué valores toma la expresión $E=r_1^n+r_2^n+r_3^n+r_4^n+r_5^n$ cuando $n$ recorre los números naturales.

Ejercicio 3

Considera, en el plano complejo $\mathbb{C}$, las raíces $n$-ésimas de la unidad. Calcula la suma de los cuadrados de las distancias entre los afijos de dichas raíces $n$-ésimas.

Ejercicio 4

Calcula la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo formado por los afijos de tres números complejos $w_a$, $w_b$ y $w_c$, tales que $w_a+w_b+w_c=0$ y $|w_a|^2 + |w_b|^2 + |w_c|^2 = 150$.

Ejercicio 5

Resuelve la ecuación $z^4 - 24z^3 + 227z^2 - 986z + 1682 = 0$, sabiendo que todas sus raíces son de la forma $a + bi$, con $a$ y $b$ números enteros.

Ejercicio 6

Se considera el polinomio con coeficientes complejos

$$ P(z) = z^3 + (-6+5i)z^2 + (9-24i)z + 18 + 13i. $$

• a) Calcula $a, b, c\in\mathbb{C}$ para que $P(z) = (z+i)(az^2+bz+c)$, para todo $z\in\mathbb{C}$.
• b) Resuelve la ecuación $P(z) = 0$.
• c) Dibuja, en el plano complejo, el triángulo cuyos vértices son los afijos $A_1$, $A_2$ y $A_3$ de las soluciones de la ecuación del apartado anterior.
• d) ¿Qué tipo de triángulo es $A_1A_2A_3$?

Ejercicio 7

Sea el polinomio

$$ P(z) = (1+i)z^3 - (2+6i)z^2 - (1-9i)z + 2 - 4i. $$

• a) Halla las soluciones de la ecuación $P(z)=0$ que pertenecen al cuerpo de los números reales.
• b) Encuentra todas las raíces de la ecuación anterior.
• c) Sea $P(z)$ un polinomio con coeficientes complejos de grado tres. Se efectua un ‘‘cambio de variable’’ $z=aw+b$, $a\neq 0$, con la intención de obtener un polinomio de coeficientes reales. Demuestra que ello es posible si, y solo si, los ceros de $P(z)$ en $\mathbb{C}$ están alineados o forman un triángulo isósceles (posiblemente con múltiples vértices).

Ejercicio 8

Calcula las raíces de la siguiente ecuación, sabiendo que sus afijos forman un rombo con diagonales paralelas a los ejes y con centro en $z=i$:

$$x^4-4ix^3-3x^2-2ix-6=0.$$

Ejercicio 9

Halla $a$ y $b$ para que el polinomio $P(x) = x^2 - ax + b$, con $a,b\in\mathbb{Z}$, una de sus raíces sea una raíz $n$-ésima de la unidad.

Ejercicio 10

Halla las condiciones que deben cumplir los coeficientes de las ecuaciones

$$ z^3+p_1z+q_1=0 \quad\text{y}\quad z^3+p_2z+q_2=0, $$

para que los afijos de las soluciones de cada una de dichas ecuaciones formen triángulos semejantes.