La semana en problemas (S6)

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Esta semana se proponen algunos enunciados relacionados con sucesiones

Ejercicio 1

Demuestra que la sucesión definida por $x_{n+1} = 1 - \sqrt{1 - x_n}$, tal que $x_1\in (0, 1)$, es convergente. Calcula su límite y halla

$$\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{x_{n+1}}{x_n}}.$$

Ejercicio 2

Demuestra que todos los términos de la sucesión $\{a_n\}_{n\geq 2}$ son múltiplos de $600$, siendo $a_n = (n^2 - 1)(n^2 + 1)(n^4 - 16)n^2$.

Ejercicio 3

Sean $x_1$ e $y_1$ dos números reales tales que $0 < x_1 < y_1$. Se definen las sucesiones $(x_n)$ e $(y_n)$ de la forma siguiente

$$x_n = \sqrt{x_{n-1}\cdot y_{n-1}}\qquad y_n = \frac{x_{n-1} + y_{n-1}}{2},$$

para cada $n\geq 2$.

• a) Demuestra que $(x_n)$ e $(y_n)$ son convergentes y que tienen el mismo límite.
• b) En este ejercicio se abordan los conceptos de sucesiones y límite de sucesiones. Relaciónalos con el currículo de secundaria y da una aplicación didáctica de dichos conceptos.

Ejercicio 4

Demuestra que, para todo número natural,

$$\frac{1}{9} + \frac{1}{25} + \frac{1}{49} + \cdots + \frac{1}{(2n+1)^2} < \frac{1}{4}.$$

Ejercicio 5

Resuelve los siguientes apartados:

• a) Obtén un desarrollo de la función $f(x) = x$ en serie de Fourier de senos válido en el intervalo $(-\pi, \pi)$.
• b) Obtén un desarrollo de la función $f(x) = x$ en serie de Fourier de cosenos válido en el intervalo $[0, \pi]$.
• c) Calcula la suma de la serie del apartado a) para $x = \pi$.
• d) Calcula la suma de la serie del apartado b) para $x = 2$.
• e) Calcula la suma de la serie $$\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{(2n - 1)^2}}.$$

Ejercicio 6

Halla la parte entera de la siguiente suma:

$$S = \frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{1000000}}.$$

Ejercicio 7

Calcula

$$S = \sum_{k=1}^{n}{\log{\left(\frac{k+1}{k}\right)^n}}.$$

Ejercicio 8

Prueba que

$$\sum_{k=0}^{n}{\cos{(k\theta)}} = \frac{1}{2} + \frac{\sin{\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)\theta\right)}}{2\sin{\left(\frac{\theta}{2}\right)}}$$