La semana en problemas (S7)

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Esta semana se proponen algunos enunciados relacionados con sucesiones.

Ejercicio 1

Dada la sucesión $a_n = 5a_{n-1} - 6a_{n-2}$, tal que $a_0 = 1$ y $a_1 = 0$, averigua su término general.

Ejercicio 2

Dada la sucesión $a_n = 4a_{n-1} - 4a_{n-2}$, tal que $a_0 = 3$ y $a_1 = -1$, averigua su término general.

Ejercicio 3

Dada la sucesión $a_n = 2a_{n-1} - 5a_{n-2}$, tal que $a_0 = 1$ y $a_1 = 0$, averigua su término general.

Ejercicio 4

Demuestra que $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$ y $\sqrt{5}$ no pueden ser términos de una misma progresión aritmética.

Ejercicio 5

Responde razonadamente a las siguientes cuestiones:

• a) Sean $a_1,a_2,\ldots,a_n\in\mathbb{R}$, tales que $a_1 < a_2 < \ldots < a_n$. Prueba que los números reales $a_1,a_2,\ldots,a_n$ están en progresión aritmética si, y solo si, $$(a_2-a_1)(a_3-a_2)\cdots(a_n-a_{n-1}) = \left(\frac{a_n-a_1}{n-1}\right)^{n-1}.$$
• b) Sean $b_1,b_2,\ldots,b_n\in\mathbb{R}$, tales que $b_1 < b_2 < \ldots < b_n$. Prueba que los números reales $b_1,b_2,\ldots,b_n$ están en progresión geométrica si, y solo si, $$\frac{b_1}{b_n}\left(\frac{b_2}{b_1} + \frac{b_3}{b_2} + \cdots + \frac{b_n}{b_{n-1}}\right)^{n-1} = (n-1)^{n-1}.$$

Ejercicio 6

Si $a$, $b$ y $c$ son, respectivamente, los términos $p$-ésimo, $q$-ésimo y $r$-ésimo de una progresión aritmética y a la vez de una progresión geométrica, demuestra que se verifica

$$a^{b-c}b^{c-a}c^{a-b} = 1.$$

Ejercicio 7

Demuestra que si se verifica

$$(xy + yz + zx)^3 = xyz(x + y + z)^3$$

los tres números $x$, $y$ y $z$ están en progresión geométrica.

Ejercicio 8

Sea $(x_n)$ la sucesión de números reales dada recurrentemente por

$$ x_{n+1} = \frac{x_n^3 + 7}{7}, $$

con $n\in\mathbb{N}$ y a partir de $x_1=a$, con $a\in\mathbb{R}$. Estudia la convergencia de la sucesión $(x_n)$ según los valores de $a$ y calcula su límite cuando exista.

Ejercicio 9

En una parcela forestal, el crecimiento anual de madera tiene un porcentaje $p$. Cada invierno se sierra una cierta cantidad $x$ de madera. ¿Cuál debe ser $x$ para que dentro de $n$ años la cantidad de madera en la parcela aumente $q$ veces, si la cantidad inicial de madera es igual a $a$?