Problemas del mes: octubre'26

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Enunciados

1. Calcule

$$ L = \lim_{n \to \infty}{\cos{\left( 2\pi\sqrt{n^2 + 3n}\right)}}. $$

2. ¿De cuántas formas se pueden alinear $p$ signos $+$ y $n$ signos $-$ de manera que no haya dos signos $-$ consecutivos?

3. ¿Cuántos enteros positivos hay con las cifras en orden estrictamente decreciente?

4. Encontrar un número $abcd$ de $4$ cifras en base $12$ tal que es cuadrado perfecto y, además, los números $ab$ y $cd$ son consecutivos en base $12$.

5. Dada una función real de variable real que cumple

$$ f(f(x)) = x^2 - x + 1, $$

halla el valor de $f(0)$.

Soluciones

1. $-1$.

2.

$$ \dfrac{(p + 1)!}{n! (p + 1 - n)!}. $$

3. $1022$.

4. $2021_{(12}$, $4344_{(12}$, $9594_{(12}$ y $A2A1_{(12}$.

5. $1$.