Teoría de números

Problemas resueltos

Problema 1

Demuestra que todos los términos de la sucesión $\{a_n\}_{n>2}$ son múltiplos de $600$, siendo

$$ a_n = (n^2-1)(n^2+1)(n^4-16)n^2. $$

Solución: es más que razonable que, en una primera aproximación a la resolución de este problema, estemos tentados a probar la afirmación dada en el enunciado utilizando el principio de inducción matemática. Esta senda nos llevaría a definir, seguramente, $P(n)$ de forma similar a la siguiente: existe $k\in\mathbb{Z}$ tal que si $n>2$, entonces

$$ a_n = (n^2-1)(n^2+1)(n^4-16)n^2 = 600k. $$

El caso base, $P(3)$ en esta ocasión, comprobamos rápidamente que se satisface, ya que

$$ \begin{aligned} a_3 &= (3^2-1)(3^2+1)(3^4-16)3^2\\ &= 2^3\cdot (2\cdot 5)\cdot (5\cdot 13)\cdot 3^2\\ &= 2^3\cdot 3\cdot 5^2\cdot (2\cdot 3\cdot 13)\\ &= 600\cdot(2\cdot 3\cdot 13), \end{aligned} $$

y bastaría tomar $k = 2\cdot 3\cdot 13 = 78$ para concluir que $a_3$ es un múltiplo de $600$.

Sin embargo, es posible que nuestro barco escore a la hora de abordar el paso inductivo. Recordemos que ahora hemos de mostrar que si $P(n)$ se cumple, para un $n>2$, entonces asimismo se satisface $P(n+1)$, cuya expresión es

$$ a_{n+1} = ((n+1)^2-1)((n+1)^2+1)((n+1)^4-16)(n+1)^2. $$

A primera vista, es ciertamente complejo utilizar la información disponible en la hipótesis de inducción, $P(n)$, para verificar $P(n+1)$.

En este momento, deberíamos descartar por completo la opción de desarrollar ambas expresiones para compararlas, puesto que entre manos tenemos un producto de cuatro polinomios, donde uno de los cuales es de grado considerable. Es más, no quiero siquiera empezar a imaginar la posible cantidad de errores de cálculo en los que podemos caer desarrollando la expresión de $P(n+1)$. Estos problemas están diseñados para resolverse en un período de tiempo razonable, hecho que nos debe invitar a considerar estrategias de resolución alternativas a la propuesta en primer lugar.

Así pues, a continuación, optaremos por llevar a cabo un enfoque diferente. Si estudiamos con detalle la expresión de $a_n$, enseguida apreciaremos que en ella aparecen un par de términos de la forma $a^2 - b^2$, concretamente $n^2 - 1$ y $n^4 - 16$. Esta situación puede hacernos sospechar que la clave pase por factorizar la expresión de $a_n$, utilizando para ello la identidad notable $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$. Aplicándola, podemos escribir

$$ \begin{aligned} n^2-1&=(n+1)(n-1),\\ n^4-16&=(n^2+4)(n^2-4)=(n^2+4)(n+2)(n-2), \end{aligned} $$

quedando entonces

$$ a_n = (n+1)(n-1)(n^2+1)(n^2+4)(n+2)(n-2)n^2. $$

No parece que estemos avanzando en la buena dirección. Sin embargo, hay cuatro términos que habrán captado nuestra atención seguramente: $(n+1)$, $(n-1)$, $(n+2)$ y $(n-2)$. Quizá ayude reescribir $a_n$ de la siguiente manera:

$$ a_n = (n-2)(n-1)(n+1)(n+2)(n^2+1)(n^2+4)n^2. $$

Nos faltaría una $n$ entre los términos $(n-1)$ y $(n+1)$ para tener en la primera parte de la expresión de $a_n$ cinco números naturales consecutivos, ya que, por hipótesis, $n>2$. No obstante, en realidad sí que tenemos a nuestro alcance dicha $n$, pues podemos escribir el término $n^2=n\cdot n$, y nos quedaría entonces que

$$ a_n = (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)n(n^2+1)(n^2+4). $$

Esta situación nos invita a escribir $a_n = u\cdot v$, con

$$ \begin{aligned} u&=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2),\\ v&=n(n^2+1)(n^2+4), \end{aligned} $$

y estudiar cada una de sus partes por separado

Tal y como hemos indicado arriba, como $n>2$, en $u$ observamos el producto de cinco números naturales consecutivos, por lo que siempre seremos capaces de encontrar entre ellos un múltiplo de $2$, uno de $3$, uno de $4$ y uno de $5$. Es decir, sabemos que existe $k\in\mathbb{N}$ de manera que podemos escribir la factorización en números primos de $u$ como

$$ \begin{aligned} u &= 2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot k \\ &= 2^3\cdot 3\cdot 5\cdot k\\ &= 120\cdot k, \end{aligned} $$

y, por tanto, $u$ es un múltiplo de $120$.

Bastaría ahora que comprobásemos que

$$ v=n(n^2+1)(n^2+4) $$

es múltiplo de $5$ para que el enunciado del ejercicio propuesto se satisfaga. Llevaremos a cabo tal tarea utilizando restos potenciales módulo 5, de manera que analizaremos, acto seguido, todos y cada uno de los casos posibles que puede presentar $n$:

• Si $n\equiv 0\pmod{5}$, trivialmente $v$ es múltiplo de $5$, al ser $n$ uno de sus factores.
• Si $n\equiv 1\pmod{5}$, $(n^2+4)\equiv (1+4)\pmod{5}\equiv 0\pmod{5}$ y, por tanto, $v$ es múltiplo de 5, al ser $(n^2+4)$ uno de sus factores.
• Si $n\equiv 2\pmod{5}$, $(n^2+1)\equiv (4+1)\pmod{5}\equiv 0\pmod{5}$ y, por tanto, $v$ es múltiplo de 5, al ser $(n^2+1)$ uno de sus factores.
• Si $n\equiv 3\pmod{5}$, $(n^2+1)\equiv (9+1)\pmod{5}\equiv 0\pmod{5}$ y, por tanto, $v$ es múltiplo de 5, al ser $(n^2+1)$ uno de sus factores.
• Si $n\equiv 4\pmod{4}$, $(n^2+4)\equiv (16+4)\pmod{5}\equiv 0\pmod{5}$ y, por tanto, $v$ es múltiplo de 5, al ser $(n^2+4)$ uno de sus factores.

Así pues, como $u$ es múltiplo de $120$, $v$ es múltiplo de $5$ y $120\cdot 5=600$, podemos concluir que $a_n$, cuando $n>2$, es múltiplo de $600$.

Problema 2

Demuestra que, para cada $n\in\mathbb{N}$, con $n\geq 1$,

$$4^{n+1} + 5^{2n-1}$$

es un múltiplo de 21.

Solución: para empezar, para cada $n\in\mathbb{N}$, $4^{n+1} + 5^{2n-1}$ es un entero mayor o igual que 21 y será múltiplo de este último siempre que

$$ 4^{n+1} + 5^{2n-1}\equiv 0 \pmod{21}. $$

Ahora bien, como $21=3\cdot 7$ y $mcd(3,7)=1$, demostrar la expresión anterior equivale a probar que las expresiones

$$ 4^{n+1} + 5^{2n-1}\equiv 0 \pmod{3} $$

y

$$ 4^{n+1} + 5^{2n-1}\equiv 0 \pmod{7}, $$

se satisfacen conjuntamente, ya que sabemos, por las propiedades de las congruencias, que dados $n,m\in\mathbb{N}$ fijos y $a,b\in\mathbb{Z}$, si $a\equiv b \pmod{n}$, $a\equiv b \pmod{m}$ y $mcd(n,m)=1$, entonces $a\equiv b \pmod{nm}$.

Así pues, dado que $4\equiv 1 \pmod{3}$ y $5\equiv (-1) \pmod{3}$, entonces, para cada $n\in\mathbb{N}$,

$$ \begin{aligned} 4^{n+1}+5^{2n-1} &\equiv (1^{n+1} + (-1)^{2n-1}) \pmod{3}\\ &\equiv (1-1) \pmod{3}\\ &\equiv 0 \pmod{3}, \end{aligned} $$

quedando así una demostrada. Para verificar la restante tengamos en cuenta que $5\equiv (-2) \pmod{7}$ y así, para cada $n\in\mathbb{N}$,

$$ \begin{aligned} 4^{n+1} + 5^{2n-1} &= 2^{2(n+1)} + 5^{2n-1}\\ &= 2^{2n+2} + 5^{2n-1}\\ &= 2^32^{2n-1} + 5^{2n-1}\\ &\equiv (2^32^{2n-1} + (-2)^{2n-1}) \pmod{7}\\ &\equiv (2^32^{2n-1} + (-1)^{2n-1}2^{2n-1}) \pmod{7}\\ &\equiv (2^32^{2n-1} - 2^{2n-1}) \pmod{7}\\ &\equiv ((2^3-1)2^{2n-1}) \pmod{7}\\ &\equiv 7\cdot 2^{2n-1} \pmod{7}\\ &\equiv 0 \pmod{7}. \end{aligned} $$

Por tanto, podemos concluir que, para cada $n\in\mathbb{N}$, $4^{n+1} + 5^{2n-1}$ es un múltiplo de 21.

Problema 3

Calcula el resto de la división de

$$ 2^{1538} $$

entre $5$.

Solución: estudiemos, utilizando la teoría de congruencias, el comportamiento del valor de las primeras potencias de $2$.

$$ \begin{aligned} 2^1&\equiv 2 \pmod{5},\\ 2^2&\equiv 4 \pmod{5}\equiv(-1) \pmod{5},\\ 2^3&\equiv 3 \pmod{5},\\ 2^4&\equiv 1 \pmod{5}. \end{aligned} $$

Este resulta un buen punto en el que detener nuestro análisis, ya que ahora sabemos que las potencias de $2$ que son múltiplo de $4$ son congruentes con $1$ módulo $5$. Es decir, $2^8\equiv 1 \pmod{5}$, $2^{12}\equiv 1 \pmod{5}$, etc. Antes de continuar, cabe señalar que:

• Podíamos habernos ahorrado algunos cálculos, ya que como $p=5$ es un número primo y $mcd(2,5)=1$, entonces, por el Pequeño Teorema de Fermat, $2^{5-1} = 2^4\equiv 1 \pmod{5}$.
• Además, en el momento en el que hemos obtenido la potencia para la cual $(-1)\pmod{5}$ ya podíamos intuir cuándo llegaríamos al resultado deseado, ya que $(-1)^2=1$, lo que indica que al elevar al cuadrado la potencia asociada ($2^2$ en este caso) tendríamos que sería congruente $1$ módulo $5$. Es decir $( 2^{2} )^{2} = 2^{4} \equiv 1\pmod{5}$.

Ahora, dividiendo, sabemos que $1538 = 384\cdot 4 + 2$ y, por tanto,

$$ 2^{1538} = 2^{384\cdot 4 + 2} = (2^4)^{384}\cdot 2^2\equiv (1\cdot 4)\pmod{5}\equiv 4\pmod{5}, $$

y así, el resto de la división de $2^{1538}$ entre $5$ asciende a $4$.

Problema 4

Calcula el inverso de $3$ módulo $7$.

Solución: el enunciado nos plantea resolver

$$ 3x\equiv 1\pmod{7}. $$

Como $mcd(3,7)=1$, es decir, $3$ y $7$ son coprimos, estamos en condiciones de asegurar que seremos capaces de encontrar el inverso de $3$ módulo $7$, $x$. Para ello, como los números involucrados son pequeños, podemos simplemente optar por emplear la ‘‘cuenta de la vieja’’ y extraer el valor de $x$ por fuerza bruta. Así,

$$ \begin{aligned} 3\cdot 1 &= 3\equiv 3\pmod{7},\\ 3\cdot 2 &= 6\equiv 6\pmod{7},\\ 3\cdot 3 &= 9\equiv 2\pmod{7},\\ 3\cdot 4 &= 12\equiv 5\pmod{7},\\ 3\cdot 5 &= 15\equiv 1\pmod{7}, \end{aligned} $$

luego $x=5$ es el inverso de $3$ módulo $7$.

Alternativamente, podemos llevar a cabo operaciones elementales sobre la propia ecuación de congruencia. Como $2\cdot3=6$, que es un valor muy cercano a $7$, entonces

$$ \begin{aligned} 3x\equiv 1\pmod{7}&\Leftrightarrow 6x\equiv 2\pmod{7}\\ &\Leftrightarrow -x\equiv 2\pmod{7}\\ &\Leftrightarrow x\equiv (-2)\pmod{7}\\ &\Leftrightarrow x\equiv 5\pmod{7}, \end{aligned} $$

arribando así al mismo resultado que antes.

Problema 5

Calcula el valor de la expresión

$$ (1^3 + 2^3 + \cdots + 100^3)\pmod{4}. $$

Solución: si tenemos en cuenta que

$$ \begin{aligned} 1\equiv 1\pmod{4} &\Rightarrow 1^3\equiv 1^3\pmod{4}\equiv 1\pmod{4},\\ 2\equiv 2\pmod{4} &\Rightarrow 2^3\equiv 2^3\pmod{4}\equiv 8\pmod{4}\equiv 0\pmod{4},\\ 3\equiv 3\pmod{4} &\Rightarrow 3^3\equiv 3^3\pmod{4}\equiv 27\pmod{4}\equiv 3\pmod{4},\\ 4\equiv 0\pmod{4} &\Rightarrow 4^3\equiv 0^3\pmod{4}\equiv 0\pmod{4},\\ 5\equiv 1\pmod{4} &\Rightarrow 5^3\equiv 1^3\pmod{4}\equiv 1\pmod{4},\\ 6\equiv 2\pmod{4} &\Rightarrow 6^3\equiv 2^3\pmod{4}\equiv 8\pmod{4}\equiv 0\pmod{4}, \end{aligned} $$

enseguida atisbamos cómo se repetiría el mismo patrón cada cuatro sumandos. Ahora bien,

$$ \begin{aligned} (1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3)\pmod{4}&\equiv (1 + 0 + 3 + 0)\pmod{4}\\ &\equiv 4\pmod{4}\\ &\equiv 0\pmod{4}, \end{aligned} $$

y como en la suma de cubos propuesta en el enunciado del ejercicio hemos de sumar $25$ veces el resultado del patrón anterior, llegamos a que

$$ (1^3 + 2^3 + \cdots+100^3)\pmod{4} \equiv 0\pmod{4}, $$

es decir, la suma de los cubos de los cien primeros números naturales es múltiplo de $4$.

Problema 6

Calcula las reglas de divisibilidad para $3$ y para $9$.

Solución: consideremos el número de $n$ cifras $a_{n-1}a_{n-2}\cdots a_2a_1a_0$ en base $10$. Sabemos, por el Teorema Fundamental de la Numeración, que podemos expresarlo como

$$ a_{n-1}a_{n-2}\cdots a_1a_0 = a_0+a_110+\cdots+a_{n-2}10^{n-2}+a_{n-1}10^{n-1}. $$

Para encontrar el criterio de divisibilidad del $3$ utilizaremos las propiedades de las congruencias sobre las potencias de $10$, buscando una condición sobre los dígitos del número $a_{n-1}a_{n-2}\cdots a_2a_1a_0$ de manera que

$$ a_0+a_110+a_210^2+\cdots+a_{n-2}10^{n-2}+a_{n-1}10^{n-1}\equiv 0\pmod{3}, $$

esto es, dicho número sea múltiplo de $3$.

Así, como $10\equiv 1\pmod{3}$, fácilmente apreciamos que

$$ 10^2\equiv 1^2\pmod{3}\equiv 1\pmod{3} $$

y, en general, $10^i\equiv 1\pmod{3}$, para cada $i\in\mathbb{N}$, por lo que

$$ a_0+a_110+\cdots+a_{n-1}10^{n-1}\equiv (a_0+a_1+\cdots+a_{n-1})\pmod{3}, $$

es decir, el número $a_{n-1}a_{n-2}\cdots a_2a_1a_0$ es divisible por $3$ siempre y cuando la suma de sus dígitos sea múltiplo de $3$.

Por lo que respecta al criterio de divisibilidad del $9$, el modo de proceder es muy similar al mostrado arriba. Volvemos a buscar una condición sobre los dígitos del número $a_{n-1}a_{n-2}\cdots a_2a_1a_0$ de manera que

$$ a_0+a_110+a_210^2+\cdots+a_{n-2}10^{n-2}+a_{n-1}10^{n-1}\equiv 0\pmod{9}, $$

esto es, dicho número sea múltiplo de $9$. Al igual que antes, como $10\equiv 1\pmod{9}$, se sigue que $10^2\equiv 1^2\pmod{9}\equiv 1\pmod{9}$ y, en general, $10^i\equiv 1\pmod{9}$, para cada $i\in\mathbb{N}$, por lo que

$$ a_0+a_110+\cdots+a_{n-1}10^{n-1}\equiv (a_0+a_1+\cdots+a_{n-1})\pmod{9}, $$

es decir, el número $a_{n-1}a_{n-2}\cdots a_2a_1a_0$ es divisible por $9$ siempre y cuando la suma de sus dígitos sea múltiplo de $9$. Expresado de otra manera, todo número es congruente con la suma de sus cifras módulo $9$. Por ejemplo, $162\equiv 0\pmod{9}$, ya que $1+6+2=9$ y $9\equiv 0\pmod{9}$; mientras que $172\equiv 1\pmod{9}$, puesto que $1+7+2=10$ y $10\equiv 1\pmod{9}$.

Nota: es más, el último criterio de divisibilidad hallado se puede generalizar como sigue: ‘’dado un sistema de numeración cuya base $b$ es mayor que $2$, un número es divisible por $b-1$ siempre que la suma de sus dígitos sea congruente con $0$ módulo $b$-1’’.

Problema 7

Calcula la regla de divisibilidad por $7$.

Solución: veamos que, en esta ocasión, proceder como en ejercicios anteriores no dará lugar a establecer una sencilla regla para el criterio de divisibilidad del $7$. En efecto, consideremos el número de $n$ cifras $a_{n - 1} a_{n - 2}\cdots a_2a_1a_0$ en base $10$. Sabemos, por el Teorema Fundamental de la Numeración, que podemos expresarlo como

$$ a_{n-1}a_{n-2}\cdots a_1a_0 = a_0+a_110+ \cdots + a_{n-2}10^{n-2}+a_{n-1}10^{n-1}. $$

Para encontrar el criterio de divisibilidad del $7$ utilizaremos las propiedades de las congruencias sobre las potencias de $10$, buscando una condición sobre los dígitos del número $a_{n-1}a_{n-2}\cdots a_2a_1a_0$ de manera que

$$ a_0+a_110+a_210^2 + \cdots + a_{n-2}10^{n-2}+a_{n-1}10^{n-1}\equiv 0\pmod{7}, $$

esto es, dicho número sea múltiplo de $7$.

Ahora bien,

$$ \begin{aligned} 10&\equiv 3\pmod{7},\\ 10^2&\equiv 3^2\pmod{7}\equiv 9\pmod{7}\equiv 2\pmod{7},\\ 10^3&\equiv 3^3\pmod{7}\equiv 27\pmod{7}\equiv 6\pmod{7},\\ 10^4&\equiv 3^4\pmod{7}\equiv 81\pmod{7}\equiv 4\pmod{7},\\ &\vdots \end{aligned} $$

y comenzamos a atisbar que el criterio que podríamos extraer es ciertamente extraño y muy complicado de recordar, puesto que

$$ a_0+a_110+\cdots + a_{n-1}10^{n-1}\equiv (a_0 + 3a_1 + 2a_2 + \cdots)\pmod{7}. $$

Por lo que respecta a la divisibilidad de un número por $7$, conviene que tengamos a mano el siguiente resultado: ‘’un número de la forma $n=10d+u$, con $d>0$ y $0\leq u\leq 9$ es múltiplo de $7$ si, y solo si, $d-2u$ es múltiplo de $7$’’.

Efectivamente, si suponemos cierto que $(10d+u)\equiv 0\pmod{7}$, es decir, que $n=10d+u$ es múltiplo de $7$, y aplicamos ahora propiedades de las congruencias sobre la forma del número $n$, llegamos a que

$$ \begin{aligned} (10d+u)\equiv 0\pmod{7} &\Leftrightarrow (3d-6u)\equiv 0\pmod{7} \\ &\Leftrightarrow (3(d-2u))\equiv 0\pmod{7}, \end{aligned} $$

esto es, hemos arribado a que el producto de dos números es múltiplo de $7$, y como sabemos que el número $3$ no lo es, concluimos que $d-2u$ es múltiplo de $7$.

Recíprocamente, si $d-2u$ es múltiplo de $7$, $(d-2u)\equiv 0\pmod{7}$ y multiplicando por $10$, $(10d-20u)\equiv 0\pmod{7}$. Ahora, como $(-20)\equiv 1\pmod{7}$, llegamos a que $(10d+u)\equiv 0\pmod{7}$, es decir, el número $n=10d+u$ es un múltiplo de $7$, quedando así la doble implicación probada.

Veamos en acción esta proposición con un par de ejemplos sencillos. Si $n=63 = 60+3$, entonces $d = 6$, $u=3$ y $d-2u = 6-2\cdot3=0$ que, efectivamente, es un múltiplo de $7$, luego $63$ asimismo lo es. Si $n = 9009$, tenemos que $d = 900$, $u=9$ y $d-2u = 900-2\cdot9=882 = 7\cdot126$, luego $d-2u$ es un múltiplo de $7$, por lo que podemos concluir que el número $9009$ también lo es.

Problema 8

• (a) Halla la base en que $$3753_{(x} - 3586_{(x} = 189_{(x}.$$
• (b) Una vez hallado el valor de $x$, deduce el criterio de divisibilidad entre $x-1$ de dicha base.
• (c) Después, justifica si alguno de los números dados es divisible por $x-1$ en dicha base.
• (d) Por último, pasa el primero de los números dados a base $9$.

Solución: para el apartado (a), por el Teorema Fundamental de la Numeración, sabemos que

$$ \begin{aligned} 3753_{(x} &= 3x^0 + 5x^1 + 7x^2 + 3x^3 = 3+5x+7x^2+3x^3,\\ 3586_{(x} &= 6x^0 + 8x^1 + 5x^2 + 3x^3 = 6+8x+5x^2+3x^3,\\ 189_{(x} &= 9x^0 + 8x^1 + 1x^2 = 9+8x+x^2, \end{aligned} $$

por lo que la igualdad planteada en el enunciado es equivalente a:

$$ 3+5x+7x^2 + 3x^3 - (6+8x+5x^2 + 3x^3) = 9+8x+x^2. $$

Operando, esta se convierte en $x^2 - 11x-12=0$, y como

$$ x^2 - 11x-12 = (x-12)(x+1), $$

concluimos que la base del sistema de numeración en la que se satisface la anterior igualdad es $x=12$ ($x=-1$ queda descartada automáticamente pues toda base ha de ser un número natural estrictamente mayor que $1$. Es más, a modo anecdótico, si las soluciones hubiesen sido $x=7$ y $x=12$, también habríamos descartado de forma automática la primera, pues en la expresión de los números implicados en la igualdad hay dígitos mayores o iguales que $7$).

Para el apartado (b), consideremos el número de $n$ cifras $a_{n-1}a_{n-2}\cdots a_2a_1a_0$ en base $12$. Utilizando el mismo resultado anterior, sabemos que podemos expresarlo como

$$ a_{n-1}a_{n-2}\cdots a_1a_0 = a_0+a_112+\cdots+a_{n-2}12^{n-1}+a_{n-1}12^{n-1}. $$

De cara a encontrar el criterio de divisibilidad del $11$ emplearemos las propiedades de las congruencias sobre las potencias de $12$, buscando una condición sobre los dígitos del número $a_{n-1}a_{n-2}\cdots a_2a_1a_0$ de manera que

$$ a_0+a_112+a_212^2+\cdots+a_{n-1}12^{n-1}\equiv 0\pmod{11}. $$

Ahora, como $12\equiv 1\pmod{11}$, fácilmente apreciamos que

$$ 12^2\equiv 1^2\pmod{11}\equiv 1\pmod{11} $$

y, en general, $12^i\equiv 1\pmod{11}$, para cada $i\in\mathbb{N}$, por lo que

$$ a_0+a_112+\cdots+a_{n-1}12^{n-1}\equiv (a_0+a_1+\cdots+a_{n-1})\pmod{11}, $$

es decir, el número $a_{n-1}a_{n-2}\cdots a_2a_1a_0$, en base $12$, es divisible por $11$ siempre y cuando la suma de sus dígitos sea múltiplo de $11$.

En el apartado (c), a partir de la condición obtenida arriba, podemos concluir que

• $3+7+5+3 = 18\equiv 7\pmod{11}$,
• $3+5+8+6 = 22\equiv 0\pmod{11}$,
• $1+8+9 = 18\equiv 7\pmod{11}$,

esto es, $3586_{(12}$ es el único número, de entre los tres propuestos, divisible por $11$.

Finalmente, en el apartado (d) tenemos que

$$ \begin{aligned} 3753_{(12} &= 3\cdot12^0 + 5\cdot12^1 + 7\cdot12^2 + 3\cdot12^3 \\ &= 5184+1008+60+3 \\ &= 6255_{(10}, \end{aligned} $$

y dividiendo ahora sucesivamente por $9$,

$$ \begin{aligned} 6255 &= 9\cdot 695 + 0,\\ 695 &= 9\cdot 77 + 2,\\ 77 &= 9\cdot 8 + 5, \end{aligned} $$

arribamos a que $6255_{(10} = 8520_{(9}$, de manera que $3753_{(12} = 8520_{(9}$ por la unicidad que nos concede el Teorema Fundamental de la Numeración.

Problema 9

Sea $n$ un número natural. Sea $A_n = 2^n + 2^{2n} + 2^{3n}$.

• (a) Demuestra que para todo $n$, $A_{n+3}\equiv A_n\pmod{7}$.
• (b) ¿Para qué valores de $n$, $A_n$ es múltiplo de $7$?
• (c) Los números en base $2$, $1110$, $1010100$ y $1001001000$, ¿son divisibles por $7$?

Solución: para el apartado (a),

$$ A_{n+3} = 2^{n+3} + 2^{2(n+3)} + 2^{3(n+3)} = 2^{n+3} + 2^{2n+6} + 2^{3n+9}. $$

Ahora bien, aprovechando que $2^3=8\equiv 1\pmod{7}$, tenemos que

$$ A_{n+3} = 2^3\cdot2^n + (2^3)^2\cdot2^{2n} + (2^3)^3\cdot 2^{3n} \equiv (2^n + 2^{2n} + 2^{3n})\pmod{7}, $$

es decir, $A_{n+3}\equiv A_n\pmod{7}$, como queríamos demostrar.

En cuanto al apartado (b), teniendo presente el resultado alcanzado en el apartado anterior, estudiemos qué sucede para tres números consecutivos. Por comodidad de cara a los cálculos, tomaremos $1$, $2$ y $3$ como valores para $n$, y así,

$$ \begin{aligned} A_1 &= 2^1+2^2+2^3 = 14\equiv 0\pmod{7},\\ A_2 &= 2^2+2^4+2^6 = 84\equiv 0\pmod{7},\\ A_3 &= 2^3+2^6+2^9 = 584\equiv 3\pmod{7}, \end{aligned} $$

es decir, como $A_{1}$ es múltiplo de $7$ y se satisface la propiedad dada en a), que podemos escribir como $( A_{n + 3} - A_{n} ) \equiv 0 \pmod{7}$, concluimos que $A_{4}$ será múltiplo de $7$ también, así como $A_{7}, A_{10}, A_{13}$ y, en general, los números de la forma $n=3k+1$, con $k\in\mathbb{N}$, sin más que aplicar reiteradamente la citada propiedad. Un argumento similar se podría esgrimir para los números de la forma $n=3k+2$, con $k\in\mathbb{N}$, a la vista del resultado alcanzado para $A_2$. De igual manera, este cauce de pensamiento nos llevaría a descartar que cualquier número de la forma $n=3k$, con $k\in\mathbb{N}$, vaya a ser múltiplo de $7$, ya que $A_3$ no lo es. En conclusión, $A_n$ será múltiplo de $7$ para todos aquellos valores de $n$ que no sean múltiplo de $3$.

Finalmente, en el apartado (c), por el Teorema Fundamental de la Numeración, sabemos que podemos escribir

$$ \begin{aligned} 1110_{(2} &= 2^1+2^2+2^3 = A_1,\\ 1010100_{(2} &= 2^2+2^4+2^6 = A_2,\\ 1001001000_{(2} &= 2^3+2^6+2^9 = A_3, \end{aligned} $$

y por lo establecido para el apartado anterior, $A_{1}$ y $A_{2}$ son divisibles por $7$, mientras que $A_{3}$ no lo es. De esta manera, los números $1110_{(2}$ y $1010100_{(2}$ son divisibles por $7$, mientras que $1001001000_{(2}$ no lo es.

Problema 10

Escribe los divisores de $1001$. Considera ahora

$$ N = a_0 + a_1t + \cdots + a_nt^n $$

y

$$ S = a_0-a_1+a_2-\cdots+(-1)^na_n, $$

donde $t=1000$ y $a_n\in\mathbb{Z}$ y demuestra que $N\equiv S\pmod{1001}$. Deduce de ello un criterio de divisibilidad por $7$, $11$ o $13$ y aplícalo al número $312879645$.

Solución: como $1001 = 7\cdot11\cdot13$, el conjunto de divisores del número $1001$ es

$$ \{1,7,11,13,77,91,143,1001\}. $$

A continuación, si consideramos $t=1000$, como

$$ t\equiv (-1)\pmod{1001}, $$

entonces se cumple que $t^2\equiv (-1)^2\pmod{1001}\equiv 1\pmod{1001}$ y, en general, $t^n\equiv (-1)^n\pmod{1001}$, para cada $n\in\mathbb{N}$. Este hecho nos permite concluir que

$$ \begin{aligned} N &= a_0 + a_1t + \cdots + a_nt^n \\ &\equiv (a_0-a_1+a_2-\cdots+(-1)^na_n)\pmod{1001}, \end{aligned} $$

es decir, $N\equiv S\pmod{1001}$, tal y como se nos pedía demostrar.

Ahora bien, que $N$ sea congruente con $S$ módulo $1001$ implica que existe un $k\in\mathbb{Z}$ de manera que podemos escribir $N = 1001k+S$. Por tanto, dado que $1001=7\cdot11\cdot13$, el número $N$ será divisible por $7$, $11$ o $13$, siempre y cuando $S$ sea divisible por $7$, $11$ o $13$ (por aplicación directa de las propiedades de las congruencias), quedando así establecido el criterio de divisibilidad solicitado.

Finalmente, si tomamos $N=312879645$, es cierto que lo podemos expresar como

$$ N = 645 + 879\cdot1000 + 312\cdot1000^2, $$

por lo que $a_0 = 645$, $a_1=879$ y $a_2=312$. Esto provoca que

$$ S = 645 - 879 + 312 = 78 = 13\cdot 6, $$

y como $S$ es divisible por $13$ concluimos, por lo anterior, que $N$ es asimismo divisible por $13$. Alternativamente, podríamos decir que como $7\nmid S$, entonces $7\nmid N$ y, análogamente, como $11\nmid S$, entonces $11\nmid N$, quedando así únicamente concluir como arriba que como $13|S$, entonces $13|N$.

Por ejemplo, si consideramos ahora $N=178178$, su expresión en esta base $1000$ que introduce el presente ejercicio es $N = 178 + 178\cdot 1000$, quedando entonces $a_0=178$, $a_1=178$ y, por consiguiente, $S = 178-178 = 0$. Ahora bien, como $7|0$, entonces $7|N$ y, de forma similar, como $11|0$ y $13|0$, entonces $11|N$ y $13|N$. Añadiendo ahora un tres delante de $N$, es decir, $N=3178178$, tenemos $N = 178 + 178\cdot1000 + 3\cdot1000^2$, con $a_0=178$, $a_1=178$, $a_2=3$ y $S=3$. Como $7\nmid 3$, $11\nmid 3$ ni $13\nmid 3$, entonces concluimos que este último número no es divisible por $7$, $11$ ni $13$.

Problema 11

Para cada entero no negativo $n$, se considera el valor $P(n)$,

$$ P(n) = \dfrac{n^7}{7} + \dfrac{n^3}{3} + \dfrac{11n}{21}. $$

• (a) Demuestra que en $\mathbb{Z}_3$ y en $\mathbb{Z}_7$ se verifica que $3n^7 + 7n^3 + 11n = 0$.
• (b) Demuestra que $P(n)$ es un entero.

Solución: para el apartado (a), recordemos que el conjunto finito $\mathbb{Z}_3 = \{\overline{0}, \overline{1}, \overline{2}\}$, que es un cuerpo al ser $3$ un número primo, viene definido como el conjunto cociente de $\mathbb{Z}$ por la relación de equivalencia dada por la congruencia módulo $3$. Así, como $3\equiv 0\pmod{3}$, para cada entero no negativo $n$, $3n^7\equiv 0\pmod{3}$. Por otro lado, al ser $3$ un número primo, sabemos, por el corolario del Pequeño Teorema de Fermat, que $n^3\equiv n\pmod{3}$, para cada entero no negativo $n$, por lo que $7n^3\equiv 7n\pmod{3}\equiv n\pmod{3}$. Por tanto,

$$ \begin{aligned} (3n^7+7n^3+11n)&\equiv (0+n+11n)\pmod{3}\\ &\equiv 12n\pmod{3}\\ &\equiv 0\pmod{3}, \end{aligned} $$

para cada entero no negativo $n$. Alternativamente, en el caso de no recordar el anterior corolario, llegaríamos a que

$$ \begin{aligned} (3n^7+7n^3+11n)&\equiv (0+7n^3+11n)\pmod{3}\\ &\equiv (n^3-n)\pmod{3}, \end{aligned} $$

pero

$$ n^3-n = n(n^2 - 1) = (n - 1)n(n + 1), $$

esto es, $n^3 - n$ es el resultado de multiplicar tres números consecutivos, entre los cuales siempre seremos capaces de encontrar un múltiplo de $3$, haciendo pues que se verifique que $(n^3 - n)\equiv 0\pmod{3}$.

Por lo que respecta al conjunto finito $\mathbb{Z}_7$, cuerpo también al ser $7$ un número primo, que se define siguiendo un procedimiento similar al mostrado para $\mathbb{Z}_3$, la manera de proceder es idéntica. Como $7\equiv 0\pmod{7}$, entonces, para cada entero no negativo $n$, es cierto que $7n^3\equiv 0\pmod{7}$. Además, aplicando el corolario del Pequeño Teorema de Fermat, como $7$ es un número primo, $n^7\equiv n\pmod{7}$, por lo que $3n^7\equiv 3n\pmod{7}$ para cada entero no negativo $n$. Luego,

$$ \begin{aligned} (3n^7+7n^3+11n)&\equiv (3n+0+11n)\pmod{7}\\ &\equiv 14n\pmod{7}\\ &\equiv 0\pmod{7}. \end{aligned} $$

En cuanto al apartado (b), operando en la expresión de $P(n)$ llegamos a que

$$ P(n) = \dfrac{n^7}{7} + \dfrac{n^3}{3} + \dfrac{11n}{21} = \dfrac{3n^7 + 7n^3 + 11n}{21}, $$

y para que $P(n)\in\mathbb{Z}$, para cada entero no negativo $n$, el numerador de la anterior expresión ha de ser múltiplo de $21$. Sin embargo, en el apartado (a) acabamos de probar que $(3n^7 + 7n^3 + 11n)\equiv 0\pmod{3}$ y $(3n^7 + 7n^3 + 11n)\equiv 0\pmod{7}$, de manera que, aplicando las propiedades de las congruencias, se verifica que $(3n^7 + 7n^3 + 11n)\equiv 0\pmod{21}$, es decir, el numerador es múltiplo de $21$ y, por tanto, $P(n)\in\mathbb{Z}$ para cada entero no negativo $n$.

Problema 12

Demuestra que la última cifra decimal de

$$ 2^{2^n} + 1 $$

es $7$, para cada $n\in\mathbb{N}$, con $n>1$.

Solución: para hallar la cifra de las unidades del número

$$ 2^{2^n} + 1, $$

un posible enfoque es estudiar el valor de la congruencia de dicho número módulo $10$. Ahora bien, como $10$ no es un número primo y $mcd(2, 10)=2$, no estamos en condiciones de aplicar ninguno de los resultados teóricos asociados a Fermat. Analicemos, pues, el comportamiento del valor de las congruencias de las potencias de $2$ módulo $10$,

$$ \begin{aligned} 2^1&\equiv 2\pmod{10},\\ 2^2&\equiv 4\pmod{10},\\ 2^3&\equiv 8\pmod{10},\\ 2^4&\equiv 6\pmod{10}. \end{aligned} $$

A la vista de este último valor alcanzado, y teniendo en cuenta el resultado al que pretendemos arribar, bastaría comprobar que, para cada número natural, con $n>1$, $2^n$ es múltiplo de $4$.

Por inducción, para $n=2$, $2^2=4$ que, efectivamente es múltiplo de $4$. Supongamos ahora cierta la afirmación para un número natural dado $n$, con $n\geq 2$, esto es, que existe un número entero $k$ de manera que $2^n=4k$. Sin embargo, $2^{n+1} = 2\cdot 2^n = 2\cdot(4k) = 4\cdot 2k$, es decir, la propiedad asimismo se satisface para $n+1$. El Principio de inducción matemática nos permite concluir que se verifica para cada número natural $n$, con $n\geq 2$.

Por tanto, al ser $2^n\equiv 0\pmod{4}$, entonces

$$ 2^{2^n}\equiv 6\pmod{10}, $$

hecho que se traduce en que

$$ ( 2^{2^n} + 1 )\equiv 7\pmod{10} $$

o, equivalentemente, que, dadas las condiciones impuestas en el enunciado del ejercicio, la cifra de las unidades del número

$$ 2^{2^n} + 1 $$

es $7$.

Problema 13

Calcula los dos últimos dígitos de $3^{1492}$.

Solución: para encontrar los dos últimos dígitos de $3^{1492}$, un posible enfoque es hallar el valor de su congruencia módulo $100$. El número $100$ no es primo, pero sí que es cierto que $mcd(3, 100)=1$, situación que nos permite hacer uso del Teorema de Euler-Fermat. Este resultado afirma que

$$ 3^{\varphi(100)}\equiv 1\pmod{100}. $$

Ahora bien, como $100 = 2^2\cdot5$, entonces

$$ \varphi(100) = 100\left(1-\dfrac{1}{2}\right)\left(1-\dfrac{1}{5}\right) = 100\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{4}{5} = 40, $$

y, por tanto, $3^{40}\equiv 1\pmod{100}$. De esta manera, como $1492 = 40\cdot 37 + 12$, podemos escribir

$$ \begin{aligned} 3^{1492} &= 3^{12}\cdot(3^{40})^{37}\\ &\equiv (3^{12}\cdot1^{37})\pmod{100}\\ &\equiv 3^{12}\pmod{100}\\ &\equiv 41\pmod{100}, \end{aligned} $$

sin más que hacer uso de la calculadora para obtener el valor de $3^{12}$.

Alternativamente, para hallar el valor de esta última congruencia, podemos manipular la potencia, $12$, como sigue:

$$ \begin{aligned} 3^{12} &= (3^4)^3\\ &= 81^3\\ &\equiv(-19)^3\pmod{100}\\ &\equiv (-6859)\pmod{100}\\ &\equiv(-59)\pmod{100}\\ &\equiv 41\pmod{100}, \end{aligned} $$

como antes, pudiéndose optar también por estrategias similares del tipo $3^{12} = 3^5\cdot 3^5\cdot 3^2$ o $3^{12} = 3^6\cdot 3^6$, entre otras.

Así, finalmente, los dos últimos dígitos de $3^{1492}$ son $41$.

Problema 14

Encuentra diez números compuestos consecutivos.

Solución: dado que preguntan por diez números compuestos consecutivos cualesquiera (y no, por ejemplo, por los diez primeros números que satisfacen dicha propiedad), existen dos estrategias habituales para abordar la resolución de este tipo de ejercicios.

En primer lugar, consideremos que buscamos únicamente tres números compuestos consecutivos, en lugar de los diez que solicita el enunciado, de cara a aliviar un tanto la escritura. Tomemos entonces el factorial de $4$, $4! = 1\cdot2\cdot3\cdot4$, de manera que es cierto que:

$$ \begin{aligned} 4! + 2 &= 2\cdot(1\cdot3\cdot4 + 1),\\ 4! + 3 &= 3\cdot(1\cdot2\cdot4 + 1),\\ 4! + 4 &= 4\cdot(1\cdot2\cdot3 + 1), \end{aligned} $$

son tres números consecutivos compuestos. En general, dado $n\in\mathbb{N}$, si buscamos $n$ números compuestos consecutivos, una opción es considerar el número $(n+1)!$ y, a partir de él, generar el conjunto de números compuestos consecutivos siguiente:

$$ \{(n+1)! + k: k\in\mathbb{N}, 2\leq k\leq n+1\}. $$

Así, para $n=10$, siguiendo esta indicación, un conjunto de diez números compuestos consecutivos es $\{11! + k: k\in\mathbb{N}, 2\leq k\leq 11\}$.

Alternativamente, si no queremos trabajar con números cuya magnitud es tan severa, podemos optar por construir el producto de los primeros números primos hasta encontrar aquel que supere en valor la cantidad de números compuestos consecutivos que deseamos encontrar. Por ejemplo, para $n=3$, el mencionado producto sería $2\cdot3\cdot5$, que satisface que:

$$ \begin{aligned} 2\cdot3\cdot5 + 2 &= 2(3\cdot 5 + 1),\\ 2\cdot3\cdot5 + 3 &= 3(2\cdot 5 + 1),\\ 2\cdot3\cdot5 + 4 &= 2(3\cdot 5 + 2), \end{aligned} $$

son tres números consecutivos compuestos. Para $n=10$, consideraríamos entonces el conjunto

$$ \{2\cdot3\cdot5\cdot7\cdot11 + k:k\in\mathbb{N}, 2\leq k\leq 11\}, $$

que contiene diez números compuestos consecutivos.

Problema 15

Prueba que $437$ es divisor de

• (a) $16^{99} - 1$.
• (b) $18! + 1$.

Solución: para ambos apartados, vamos a aprovechar que $437 = 19\cdot 23$ y, de cara a demostrar que es divisor de los números dados en los apartados (a) y (b), estudiaremos si $19$ y $23$ lo son y, en caso afirmativo, por las propiedades de las congruencias, concluiremos que $437$ los divide.

Para el apartado (a), como $19$ es un número primo y $mcd(16,19)=1$, entonces, por el Pequeño Teorema de Fermat, $16^{18}\equiv 1\pmod{19}$. Ahora, como $99 = 18\cdot5 + 9$, entonces

$$ \begin{aligned} 16^{99} &= 16^9\cdot(16^{18})^5\\ &\equiv (16^9\cdot 1^{18})\pmod{19}\\ &\equiv 16^9\pmod{19}\\ &\equiv 4^{18}\pmod{19}, \end{aligned} $$

pero como $mcd(4,19)=1$, aplicando de nuevo el resultado anterior, $4^{18}\equiv 1\pmod{19}$, luego

$$ ( 16^{99} - 1 )\equiv (1 - 1)\pmod{19}\equiv 0\pmod{19}, $$

esto es, $16^{99}-1$ es múltiplo de $19$. De manera similar, como $23$ es un número primo y $mcd(16,23)=1$, por el mismo teorema que antes sabemos que $16^{22}\equiv 1\pmod{23}$, y como $99=22\cdot4+11$, tenemos que

$$ \begin{aligned} 16^{99} &= 16^{11}\cdot(16^{22})^4\\ &\equiv (16^{11}\cdot 1^4)\pmod{23}\\ &\equiv 16^{11}\pmod{23}\\ &\equiv 4^{22}\pmod{23}, \end{aligned} $$

y utilizando la estrategia previa, como $mcd(4,23)=1$, sabemos que $4^{22}\equiv 1\pmod{23}$. Así,

$$ ( 16^{99} - 1 )\equiv (1 - 1)\pmod{23}\equiv 0\pmod{23}, $$

es decir, $16^{99} - 1$ es múltiplo de $23$ y, por las propiedades de las congruencias, será asimismo múltiplo de $19\cdot23=437$.

Para el apartado (b), como $19$ es un número primo, aplicando el Teorema de Wilson, $18!\equiv (-1)\pmod{19}$, luego

$$ ( 18! + 1 )\equiv (-1+1)\pmod{19}\equiv 0\pmod{19}, $$

esto es, $18!+1$ es múltiplo de $19$. Por otro lado, $23$ es asimismo un número primo, de manera que utilizando de nuevo el resultado anterior, $22!\equiv (-1)\pmod{23}$. Ahora bien, $22! = 22\cdot21\cdot20\cdot19\cdot18!$ y como $22\equiv (-1)\pmod{23}$, $21\equiv (-2)\pmod{23}$, $20\equiv (-3)\pmod{23}$ y $19\equiv (-4)\pmod{23}$, llegamos a que

$$ \begin{aligned} 22! &= (22\cdot21\cdot20\cdot19\cdot18!)\\ &\equiv ((-1)\cdot(-2)\cdot(-3)\cdot(-4)\cdot18!)\pmod{23}\\ &\equiv (24\cdot18!)\pmod{23}\\ &\equiv (1\cdot18!)\pmod{23}\\ &\equiv 18!\pmod{23}, \end{aligned} $$

y juntando ambos resultados, concluimos que $18!\equiv (-1)\pmod{23}$, luego

$$ ( 18! + 1 )\equiv ( -1 + 1 )\pmod{23}\equiv 0\pmod{23}, $$

es decir, $18!+1$ es múltiplo de $23$, y como también lo era de $19$, concluimos que asimismo lo será de $19\cdot23=437$.

Problema 16

Sea $n$ un número natural no nulo. Dado el conjunto de fracciones

$$ A_n = \left\{\dfrac{1}{n},\dfrac{2}{n},\dfrac{3}{n},\ldots,\dfrac{n}{n}\right\}. $$

Calcula el número de fracciones irreducibles y la suma de dichas fracciones.

Solución: acompañemos la resolución de este ejercicio con un caso particular para $n$, con el objetivo de que esta sea así más ilustrativa. Por ejemplo, si $n=8$, el conjunto de fracciones a estudiar es

$$ A_8 = \left\{\dfrac{1}{8},\dfrac{2}{8},\dfrac{3}{8},\dfrac{4}{8},\dfrac{5}{8},\dfrac{6}{8},\dfrac{7}{8},\dfrac{8}{8}\right\}, $$

que contiene $4$ fracciones irreducibles,

$$ \left\{\dfrac{1}{8},\dfrac{3}{8},\dfrac{5}{8},\dfrac{7}{8}\right\}. $$

Estas se caracterizan por ser aquellas en las que numerador y denominador son coprimos. Así pues, el problema se reduce a encontrar, dado un número natural $n$ no nulo, la cantidad de enteros positivos menores o iguales a $n$ y coprimos con $n$, esto es, $\varphi(n)$.

En nuestro caso concreto, para $n=8=2^3$, efectivamente,

$$ \varphi(8) = 8\left(1 - \dfrac{1}{2}\right) = 8\cdot\dfrac{1}{2} = 4. $$

Por tanto, recapitulando, dado $n$ un número natural no nulo, la cantidad de fracciones irreducibles que figuran en el conjunto $A_n$ es igual a $\varphi(n)$.

Para calcular su suma, si volvemos a centrar nuestra atención en el caso particular de $n=8$, tenemos que

$$ \dfrac{1}{8} + \dfrac{7}{8} = 1,\qquad \dfrac{3}{8} + \dfrac{5}{8} = 1, $$

esto es, podemos agrupar las fracciones irreducibles de dos en dos, de manera que su suma es $1$. Efectivamente, sabemos que, dados dos números enteros $a$ y $b$, para cualquier número entero $x$ se cumple que

$$ mcd(a,b) = mcd(b,a) = mcd(a,-b) = mcd(a,b+ax). $$

Considerando ahora un número natural $k

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