De cometas y sus perihelios

Problema 41: Los cometas 2p/Encke, 4P/Faye y 8p/Tuttle tienen períodos orbitales de $3$, $8$ y $13$ años, respectivamente. Los últimos perihelios (punto más cercano de la órbita de un cuerpo celeste alrededor del Sol) de cada uno de ellos fueron en $2017$, $2014$ y $2008$, respectivamente. ¿Cuál será el siguiente año en el cual coincidan sus perihelios? (Para este problema, asume que el tiempo se mide en años completos y que cada período orbital es constante.)

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La cesta de huevos de Brahmagupta

Problema 40: Brahmagupta tiene una enorme cesta repleta de huevos camperos. Si los saca de $2$ en $2$, resulta que queda un huevo en la cesta. Si opta por extraerlos de $3$ en $3$, ahora $2$ son los huevos que restan en la cesta. Análogamente, si realiza el proceso utilizando grupos de $4$, $5$ y $6$ huevos, quedan en la cesta, respectivamente, $3$, $4$ y $5$ huevos. Sin embargo, si los saca de $7$ en $7$, la cesta se vacía por completo. ¿Cuál es la menor cantidad de huevos que puede haber en la cesta de Brahmagupta?

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Cuatro amigos, un concierto y poco dinero

Problema 39: Ana, Belén, Carlos y David acuden, con bastante ilusión y mucha algarabía, a un concierto de 31Knots; pero, en mitad de la cola, tras un rápido y certero cálculo de Ana, desgraciadamente se dan cuenta de que les faltan algunos euros para poder comprar las entradas, cuyo precio asciende a $50$ euros por tique.

Cada uno de ellos posee una cifra entera mayor o igual que cero de euros y, curiosamente, además

  • si Belén le pide un euro a Ana, consigue acumular dos tercios de la cantidad que le quedaría a Ana;
  • si Carlos toma prestados dos euros de Belén, llega a acumular tres quintos de la cantidad que le quedaría a Belén;
  • si David le pide tres euros a Carlos, consigue acumular cinco séptimos de la cantidad que le quedaría a Carlos.

¿Cuál es la mínima cantidad de euros que necesitarían entre todos para poder así permitirse la adquisición de las cuatro entradas?

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Contando soldados de una manera curiosa

Problema 38: Un general cuenta el número de soldados supervivientes de una batalla alineándolos, sucesivamente, en filas de diferentes tamaños. En cada ocasión, anota el total que quedaron sin poder completar una fila. Disponía de $1200$ combatientes antes de la refriega. Tras el encuentro si los alineaba en filas de $5$, quedaban $3$ sin poder completar una fila; si lo hacía en filas de $6$, volvían a quedar $3$ sin poder completar una fila; si los repartía en filas de $7$, únicamente uno quedaba fuera de las filas y si los alineaba en filas de $11$, no quedaba soldado alguno que no estuviese en una fila ¿Cuántos soldados sobrevivieron la batalla?

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Repartiendo el aguinaldo de la empresa

Problema 37: Un cierto número de billetes se reparten entre siete subalternos y dos jefes, teniendo en cuenta que un jefe cobra el doble que un subalterno. Tras el reparto, sobran seis billetes; pero si hubiese faltado un jefe, el reparto habría salido exacto. Por otro lado, si hubiera faltado un subalterno, serían entonces ocho los billetes que habrían sobrado. Calcular el menor número positivo de billetes que cobraron cada uno.

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