La semana en problemas (S14)

Tue, 12 Dec 2023 00:00:00 +0000

Esta semana se proponen algunos enunciados relacionados con matrices, estructuras algebraicas y espacios vectoriales.

Ejercicio 1

Considérese el conjunto $\mathcal{A}$ de las matrices cuadradas de orden tres de la forma siguiente:

$$ M(x) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & x \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad\text{donde } x\in\mathbb{R}. $$

a) Demuestre que el conjunto $\mathcal{A}$ tiene estructura de grupo conmutativo respecto del producto de matrices.
b) En este ejercicio se aborda el concepto de grupo, estructura básica de la teoría de conjuntos. Relacione esta con el currículo de Secundaria y dé una aplicación didáctica de algún concepto que aparezca en dicha teoría.

Ejercicio 2

Para cada tres números enteros $x$, $y$ y $z$ se considera la matriz

$$ M(x, y, z) = \begin{bmatrix} 1 & x & y \\ 0 & 1 & z \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}. $$

a) Pruebe que el conjunto $\mathcal{A}$ de todas estas matrices $M(x,y,z)$ es un grupo respecto del producto de matrices.
b) Halle el conjunto $\mathcal{B}$ de todas las matrices de $\mathcal{A}$ que conmutan con todas las matrices de este grupo.
c) Pruebe que $\mathcal{B}$ es un subgrupo de $\mathcal{A}$ isomorfo al grupo aditivo de los enteros.

Ejercicio 3

Sea $\mathcal{M}_{\mathbb{C}}$ el conjunto de todas las matrices $2\times 2$ de la forma

$$ M(a, b) = \begin{bmatrix} a & -b \\ b & a \end{bmatrix}, \quad (a,b\in\mathbb{R}) $$

a) Demuestre que $\mathcal{M}_{\mathbb{C}}$ tiene estructura algebraica de cuerpo conmutativo con las operaciones usuales de suma y producto de matrices.
b) Demuestre que $\mathcal{M}_{\mathbb{C}}$ es isomorfo al cuerpo $\mathbb{C}$ de los números complejos, hallando el isomorfismo $f:\mathbb{C}\rightarrow\mathcal{M}_{\mathbb{C}}$ correspondiente.
c) Utilizando el isomorfismo definido en b), calcule $$ \sqrt[4]{ \begin{bmatrix} -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix} }. $$

Ejercicio 4

Sea $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ el espacio vectorial real de todas las matrices cuadradas de tamaño $2\times 2$, y sea $M\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ una matriz que cumple la igualdad:

$$M^2 - 2M - 3I = 0.\qquad (1)$$

Sea asimismo $V$ el subespacio vectorial de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ engendrado por $M$ e $I$.

a) Determine todas las matrices $M$ que cumplen la relación (1) y que son tales que la dimensión de $V$ es $1$.
b) Halle todas las soluciones de la ecuación (1) de la forma $$M = \begin{bmatrix} p & q \\ q & p \end{bmatrix}.$$
c) Se supone que $M$ cumple (1) y es distinta de las matrices obtenidas en a). Determine, en el espacio $V$ correspondiente, todas las matrices $P$ tales que $P^2 = P$.

Ejercicio 5

En el espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden dos, consideramos los subespacios $L$ y $M$ siguientes:

$$ \begin{align*} L & = \left\{ \begin{bmatrix} a-b+2c & b-2c\\ 0 & 2c \end{bmatrix} : a,b,c\in\mathbb{R} \right\};\\ M &= \mathcal{L} \left\{ \begin{bmatrix} 1 & -1\\ 0 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 1\\ 0 & -1 \end{bmatrix} \right\}. \end{align*} $$

a) Determine el subespacio $L\cap M$ y compruebe que $L = L + M$, decidiendo además si se trata de una suma directa.
b) Sea $\mathcal{B}_L = \{U,V,W\}$ la base de $L$ en la que $$ U = \begin{bmatrix} 1 & -1\\ 0 & 0 \end{bmatrix}, V = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{bmatrix}, W = \begin{bmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{bmatrix} $$ y sea $f:L\rightarrow L$ la aplicación lineal dada por $f(U) = V$, $f(V) = U$ y $f(W) = W$. Halle la matriz de $f$ respecto de la base $\mathcal{B}_L$ y los subespacios $ker(f)$ e $img(f)$.

Ejercicio 6

En el espacio vectorial $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ de las matrices cuadradas de orden $2$ se considera la base

$$ \mathcal{B} = \left\{\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 2 & 0 \end{bmatrix} \right\} $$

y los conjuntos

$$ \begin{align*} S & = \{A\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R}): A^t = A\} \\ U & = \left\{ A\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R}): A\cdot \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \right\} \\ V & = \mathcal{L} \left\{ \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \right\} \end{align*} $$

a) Demuestre que $U$ es un subespacio de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$.
b) Calcule ecuaciones paramétricas e implícitas de $S\cap V$ respecto de la base canónica de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$.
c) Dé ecuaciones paramétricas e implícitas de $U$ respecto de la base $\mathcal{B}$.
d) Razone la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones, en las que $W$ es un espacio vectorial de dimensión $2021$:
- i) En $W$ puede existir un sistema generador con $2022$ vectores.
- ii) $2020$ vectores distintos de $W$ siempre son linealmente indpendientes.