La semana en problemas (S22)

Tue, 27 Feb 2024 00:00:00 +0000

Esta semana se proponen algunos enunciados relacionados con integrales (áreas).

Ejercicio 1

Dada la curva definida por la función $f(x) = \ln{x}$, se pide:

(a) Halle la longitud del arco de esta curva entre las abscisas $1/2$ y $3/2$.
(b) Halle el área comprendida entre la curva, el eje $OX$ y las ordenadas correspondientes a las abscisas $1/2$ y $3/2$.
(c) En este ejercicio se aborda el concepto de integral y algunas aplicaciones. Relaciónelo con el currículum de Bachillerato y dé alguna aplicación didáctica del mismo.

Ejercicio 2

Se considera la función $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ dada por:

$$ \begin{align*} f(x) = \ln{\frac{e^x-1}{e^x+1}} \end{align*} $$

(a) Realice su estudio y representación gráfica.
(b) Halle la longitud del arco de curva de $y = f(x)$ entre $x = 2$ y $x = 4$.

Ejercicio 3

Como aplicación de la integral definida, obtenga el volumen de un sólido cuya base es el círculo de inecuación $x^2 + y^2 - 4x \leq 0$, en cierta referencia rectangular del espacio euclídeo, sabiendo que cuando a dicho sólido se le producen secciones perpendiculares al eje $OX$, se obtienen triángulos cuya altura es el cuadrado de la distancia de cada sección al origen de coordenadas.

Ejercicio 4

Dada la función real de variable real definida por

$$ \begin{align*} f(x) = \frac{x^3}{(1 + x)^2} \end{align*} $$

(a) Represente gráficamente la función $f$ haciendo un estudio previo de sus propiedades
(b) Halle el área de la región acotada comprendida entre la gráfica de la función, la asíntota oblícua de la curva $y = f(x)$ y la recta $4y + 7x - 8 = 0$.

Ejercicio 5

Sea la función

$$ \begin{align*} f(x) = \frac{e^x}{|e^x - 1|} \end{align*} $$