https://imalexissaez.github.io/tags/metodos-numericos/Métodos NuméricosHugoBlox Kit (https://hugoblox.com)esTue, 28 Nov 2023 00:00:00 +0000https://imalexissaez.github.io/media/icon_hu_f9a010db42001f4b.pnghttps://imalexissaez.github.io/tags/metodos-numericos/https://imalexissaez.github.io/blog/la-semana-en-problemas-s12/Tue, 28 Nov 2023 00:00:00 +0000https://imalexissaez.github.io/blog/la-semana-en-problemas-s12/<p>Esta semana se proponen algunos enunciados relacionados con ecuaciones (haciendo hincapié en su resolución numérica) y con ecuaciones diofánticas.</p> <h3 id="ejercicio-1">Ejercicio 1</h3> <p>Responda a las siguientes cuestiones:</p> <ul> <li>a) Demuestre que todo polinomio de grado impar con coeficientes reales tiene, por lo menos, una raíz real.</li> <li>b) Razone entonces que el polinomio $x^8 + 3x^3 - 1$ tiene al menos dos raíces reales y distintas.</li> <li>c) Demuestre que el polinomio $x^3 - 3x + a$ no puede tener más de una raíz en el intervalo $[-1, 1]$.</li> <li>d) ¿Para qué valores de $a$ el polinomio $x^3 - 3x + a$ no tiene raíz alguna en el intervalo $[-1, 1]$?</li> <li>e) Demuestre que todo número real positivo tiene raíz cuadrada positiva.</li> <li>f) Halle una solución de la ecuación $x^3 + x^2 -7x + 1 = 0$, con un error menor que $0.07$.</li> <li>g) Estudie la continuidad de la función $g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ dada por $$g(x) = \left\{ \begin{aligned} x, &\quad \text{si } x\in\mathbb{Q} \\ 2x, &\quad \text{si} x\notin\mathbb{Q} \end{aligned} \right..$$</li> <li>h) Sea $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ una función continua tal que $f(x)\in\mathbb{Q}$ para todo $x\in\mathbb{R}$. Demuestre que $f$ es necesariamente una función constante.</li> </ul> <h3 id="ejercicio-2">Ejercicio 2</h3> <p>La ecuación $x - e^{-x} = 0$ tiene una solución en el intervalo $[0.5, 0.6]$. Para aproximar dicha solución se consideran los métodos de Lagrange, de Newton y de las aproximaciones sucesivas basado en la función $g$ definida por $g(x) = -\ln{x}$. Justifique la existencia de dicha solución y analice la conveniencia de utilizar un método u otro para aproximarla.</p> <h3 id="ejercicio-3">Ejercicio 3</h3> <p>Un hombre acude a un banco para cobrar un cheque por valor de $E$ euros y $C$ céntimos. El cajero, por error, le entrega un sobre con $C$ euros y $E$ céntimos. El cliente no se da cuenta del error hasta que gasta $23$ céntimos y, además, observa que en ese momento tiene $2E$ euros y $2C$ céntimos. ¿Cuál es el valor del cheque?</p> <h3 id="ejercicio-4">Ejercicio 4</h3> <p>Responda razonadamente a las siguientes cuestiones:</p> <ul> <li>a) Halle un conjunto infinito de ternas $(a, b, c)$ formadas por números naturales distintos que sean solución de la ecuación $$a^2 + b^2 + c^2 = 2c(a + b).$$</li> <li>b) Demuestre que la ecuación $$a^3 + b^3 - c^3 = 3b(a - c)(a + c - b)$$no tiene soluciones $(a, b, c)\in\mathbb{N}^3$ tales que $a < b < c$.</li> </ul>