La semana en problemas (S19)

Tue, 06 Feb 2024 00:00:00 +0000

Esta semana se proponen algunos enunciados relacionados con series de potencias y representación de funciones.

Estudie la convergencia de

$$ \begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^2 + 2}}. \end{align*} $$

Calcule el polinomio de Taylor de la función $f(x) = \ln{x}$ centrado en $x_0 = 1$.

Siendo

$$ \begin{align*} a_n = \frac{n^k}{(n+1)(n+2)(n+3)} \end{align*} $$

el término general de una serie, se pide:

(a) Sustituya el exponente $k$ por el mayor entero compatible con la condición de ser convergente la serie $\sum_{n=1}^{\infty}{a_n}$.
(b) Halle la suma de la serie para dicho $k$.

Sea $x$ un número real.

(a) Pruebe que $$1 + x + x^2 + \ldots + x^{n-1} = \frac{1 - x^n}{1 - x}$$para cualquier $n$ natural y deduzca que $$\sum_{n=0}^{\infty}{x^n} = \frac{1}{1 - x}$$y determine el radio de convergencia de la anterior identidad.
(b) Desarrolle en serie de potencias la función $$f(x) = \frac{3}{2 + 5x^2}$$ y determine su radio de convergencia.
(c) Calcule $f^{(n)}(0)$.
(d) Plantee un problema contextualizado con diferentes apartados a partir de la identidad del punto (a). Resuelva el problema indicando todos los conocimientos previos necesarios.

Escriba el desarrollo de Taylor de la función $f(x) = (\log{x})^2$ con diversas fórmulas del término complementario.

Haciendo uso de la fórmula de Taylor para la función

$$f(x) = (1+x)^{1/3}$$

calcule aproximadamente $1.3^{1/3}$, situando el término complementario en el lugar de las derivadas terceras. Estime el error cometido.

Represente gráficamente una función de la que se tienen los siguientes datos:

Sea $f$ una función definida, continua y derivable en $\mathbb{R}-\{-1\}$.
La ecuación $f(x) = 0$ tiene exactamente una solución negativa, que además es única.
La ecuación $f'(x) = 0$ tiene también una única solución (simple) positiva.
Se verifica que $f(0) = 4$ y $f(1) = 3/4$.
La recta $y = x + 1$ es una asíntota oblícua.
$\lim_{x\rightarrow-1^+_{-}} = +\infty$.
(a) Haga la representación gráfica de la función sabiendo que es una función racional.
(b) Obtenga la expresión analítica de una función.

Series De Potencias | Infinitos Contrastes