¿Cómo dividir polinomios con LaTeX?

Automatizando el proceso

Fotografía de Adrian Infernus, disponible en Unsplash.

Escribiendo unos apuntes sobre polinomios, llegó el momento de mostrar un ejemplo de la división de un par de ellos. La clásica pregunta no se hizo esperar, ¿cómo transcribo en LaTeX esa operación matemática?

Acompañemos este artículo con un ejemplo concreto. Sean

$$ P = x^4 + 3x^3 - 2x^2 + x - 1 $$

y

$$ Q = x^2 + x - 1 $$

los polinomios implicados en la división, siendo nuestro objetivo mostrar la mencionada operación paso por paso (y no simplemente ofrecer el resultado final, acción que no entraña misterio a la hora de llevarla a cabo con LaTeX).

Como suele ser habitual, tras una rápida búsqueda con Google, no soy la primera persona que se ha encontrado en esta encrucijada. En los foros que consulté, la recomendación estándar era emplear el paquete polynom, que a través del comando \polylongdiv nos facilita enormemente la tarea. De forma automática, se ocupa de realizar y organizar (con LaTeX) todos los pasos involucrados en una división de polinomios.

Así pues, empecemos ubicando en el preámbulo de nuestro documento la siguiente instrucción:

\usepackage{polynom}

Antes de proceder a realizar división alguna, conviene que declaremos personalmente el valor de ciertos argumentos opcionales:

\polyset{style=C, div=:, vars=x}

donde:

  • style: declara el estilo con el que efectuará la división de polinomios, pudiendo escoger entre los valores A, B y C.
  • div: señala el símbolo con el que se expresará la división (dependiendo del estilo escogido, la asignación de este parámetro es importante).
  • vars: indica el valor de la variable del polinomio. Generalmente utilizamos x, pero no es descabellado emplear n cuando estamos lidiando con temas asociados a números enteros.

Ahora, allí donde deseemos ubicar la división de los polinomios $P$ y $Q$ definidos arriba, tecleamos:

$$\polylongdiv{x^4+3x^3-2x^2+x-1}{x^2+x-1}$$

Obteniendo como resultado:

Resultado de la división de polinomios.

Estudiemos el resultado visual de la operación bajo los distintos estilos que nos ofrece el paquete polynom.

Estilo A:

Estilo para la división A.

Estilo B:

Estilo para la división B.

Estilo C:

Estilo para la división C.

Personalmente, el último de los mostrados es el estilo que me resulta más atractivo para mostrar cómo realizar paso a paso una división de polinomios con LaTeX. No obstante, como siempre, ‘‘para gustos, los colores’’.

Para finalizar, me gustaría comentar que:

  • Aun siendo bastante satisfactoria esta solución, ninguno de los estilos que ofrece el paquete polynom se ajusta exactamente a como habitualmente organizamos la división por estos lares.
  • Por limitaciones de TeX, no podemos llevar a cabo la división de polinomios en conjuntos finitos como, por ejemplo, $\mathbb{Z}_4$ o en el cuerpo $\mathbb{Z}_7$.

En ambos casos, una posible vía de escape que he encontrado es recurrir al paquete tikz y, manualmente, ‘‘dibujar’’ la propia división de polinomios. No es un proceso demasiado complejo y quizá lo ilustre en una futura entrada.

Alexis Sáez
Alexis Sáez
Profesor de matemáticas

Cazador de problemas matemáticos en parajes opositores.

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