De fracciones irreducibles y su suma

Problema 30: Sea $n$ un número natural no nulo. Dado el conjunto de fracciones $$A_n = \left\{\dfrac{1}{n},\dfrac{2}{n},\dfrac{3}{n},\ldots,\dfrac{n}{n}\right\}.$$ Calcula el número de fracciones irreducibles y la suma de dichas fracciones.

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Un polinomio que solo toma valores enteros

Problema 25: Para cada entero no negativo $n$, se considera el valor $P(n)$, $$P(n) = \dfrac{n^7}{7} + \dfrac{n^3}{3} + \dfrac{11n}{21}.$$

  • (a) Demuestra que en $\mathbb{Z}_3$ y en $\mathbb{Z}_7$ se verifica que $3n^7 + 7n^3 + 11n = 0$.
  • (b) Demuestra que $P(n)$ es un entero.

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Un curioso criterio de divisibilidad

Problema 24: Escribe los divisores de $1001$. Considera ahora $N = a_0 + a_1t + \cdots + a_nt^n$ y $S = a_0-a_1+a_2-\cdots+(-1)^na_n$, donde $t=1000$ y $a_n\in\mathbb{Z}$ y demuestra que $N\equiv S\pmod{1001}$. Deduce de ello un criterio de divisibilidad por $7$, $11$ o $13$ y aplícalo al número $312879645$.

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