Un polinomio que solo toma valores enteros

Problema 25: Para cada entero no negativo $n$, se considera el valor $P(n)$, $$P(n) = \dfrac{n^7}{7} + \dfrac{n^3}{3} + \dfrac{11n}{21}.$$

  • (a) Demuestra que en $\mathbb{Z}_3$ y en $\mathbb{Z}_7$ se verifica que $3n^7 + 7n^3 + 11n = 0$.
  • (b) Demuestra que $P(n)$ es un entero.

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Un curioso criterio de divisibilidad

Problema 24: Escribe los divisores de $1001$. Considera ahora $N = a_0 + a_1t + \cdots + a_nt^n$ y $S = a_0-a_1+a_2-\cdots+(-1)^na_n$, donde $t=1000$ y $a_n\in\mathbb{Z}$ y demuestra que $N\equiv S\pmod{1001}$. Deduce de ello un criterio de divisibilidad por $7$, $11$ o $13$ y aplícalo al número $312879645$.

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Empezando con teoría de números (VII)

Problema 23: Sea $n$ un número natural. Sea $A_n = 2^n+2^{2n} + 2^{3n}$.

  • a) Demuestra que para todo $n$, $A_{n+3}\equiv A_n\pmod{7}$.
  • b) ¿Para qué valores de $n$, $A_n$ es múltiplo de $7$?
  • c) Los números en base $2$, $1110$, $1010100$ y $1001001000$, ¿son divisibles por $7$?

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¿Cómo dividir polinomios con LaTeX?

Escribiendo unos apuntes sobre polinomios, llegó el momento de mostrar un ejemplo de la división de un par de ellos. La clásica pregunta no se hizo esperar, ¿cómo transcribo en LaTeX esa operación matemática?

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LaTeX 

Empezando con teoría de números (VI)

Problema 22 (Comunidad Valenciana, 2006):

  • a) Halla la base del sistema de numeración en la que $3753_{(x} - 3586_{(x} = 189_{(x}$.
  • b) Una vez hallado el valor de $x$, deduce el criterio de divisibilidad entre $x-1$ de dicha base.
  • c) Después, justifica si alguno de los números dados es divisible por $x-1$ en dicha base.
  • d) Por último, pasa el primero de los números dados a base $9$.

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