Posts

Problema 25: Para cada entero no negativo $n$, se considera el valor $P(n)$, $$P(n) = \dfrac{n^7}{7} + \dfrac{n^3}{3} + \dfrac{11n}{21}.$$

• (a) Demuestra que en $\mathbb{Z}_3$ y en $\mathbb{Z}_7$ se verifica que $3n^7 + 7n^3 + 11n = 0$.
• (b) Demuestra que $P(n)$ es un entero.

Problema 24: Escribe los divisores de $1001$. Considera ahora $N = a_0 + a_1t + \cdots + a_nt^n$ y $S = a_0-a_1+a_2-\cdots+(-1)^na_n$, donde $t=1000$ y $a_n\in\mathbb{Z}$ y demuestra que $N\equiv S\pmod{1001}$. Deduce de ello un criterio de divisibilidad por $7$, $11$ o $13$ y aplícalo al número $312879645$.

La semana anterior analizamos el paquete polynom, que nos permite fácilmente llevar a cabo la transcripción de divisiones de polinomios con LaTeX. A continuación, estudiaremos una manera alternativa para lidiar con este asunto que, además, nos permitirá operar en conjuntos finitos.

Problema 23: Sea $n$ un número natural. Sea $A_n = 2^n+2^{2n} + 2^{3n}$.

• a) Demuestra que para todo $n$, $A_{n+3}\equiv A_n\pmod{7}$.
• b) ¿Para qué valores de $n$, $A_n$ es múltiplo de $7$?
• c) Los números en base $2$, $1110$, $1010100$ y $1001001000$, ¿son divisibles por $7$?

Escribiendo unos apuntes sobre polinomios, llegó el momento de mostrar un ejemplo de la división de un par de ellos. La clásica pregunta no se hizo esperar, ¿cómo transcribo en LaTeX esa operación matemática?

Problema 22 (Comunidad Valenciana, 2006):

• a) Halla la base del sistema de numeración en la que $3753_{(x} - 3586_{(x} = 189_{(x}$.
• b) Una vez hallado el valor de $x$, deduce el criterio de divisibilidad entre $x-1$ de dicha base.
• c) Después, justifica si alguno de los números dados es divisible por $x-1$ en dicha base.
• d) Por último, pasa el primero de los números dados a base $9$.

Problema 21: Calcula la regla de divisibilidad por $7$.

En los últimos días he dado, por casualidad, con una serie de problemas que pertenecen a esta competición matemática y que me han resultado ciertamente curiosos, tanto por su complejidad como por la creatividad puesta en escena a la hora de resolverlos.

Problema 20: Calcula las reglas de divisibilidad para $3$ y para $9$.

Problema 19: Calcula el valor de la expresión $$(1^3+2^3+\cdots+100^3)\pmod{4}.$$