La semana en problemas (S19)

Esta semana se proponen algunos enunciados relacionados con series de potencias y representación de funciones.

Ejercicio 1

Estudie la convergencia de

\begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^2 + 2}}. \end{align*}

Ejercicio 2

Calcule el polinomio de Taylor de la función $f(x) = \ln{x}$ centrado en $x_0 = 1$.

Ejercicio 3

Siendo

\begin{align*} a_n = \frac{n^k}{(n+1)(n+2)(n+3)} \end{align*}

el término general de una serie, se pide:

• (a) Sustituya el exponente $k$ por el mayor entero compatible con la condición de ser convergente la serie $\sum_{n=1}^{\infty}{a_n}$.
• (b) Halle la suma de la serie para dicho $k$.

Ejercicio 4

Sea $x$ un número real.

• (a) Pruebe que \begin{align*} 1 + x + x^2 + \ldots + x^{n-1} = \frac{1 - x^n}{1 - x} \end{align*} para cualquier $n$ natural y deduzca que \begin{align*} \sum_{n=0}^{\infty}{x^n} = \frac{1}{1 - x} \end{align*} y determine el radio de convergencia de la anterior identidad.
• (b) Desarrolle en serie de potencias la función \begin{align*} f(x) = \frac{3}{2 + 5x^2} \end{align*} y determine su radio de convergencia.
• (c) Calcule $f^{(n)}(0)$.
• (d) Plantee un problema contextualizado con diferentes apartados a partir de la identidad del punto (a). Resuelva el problema indicando todos los conocimientos previos necesarios.

Ejercicio 5

Escriba el desarrollo de Taylor de la función $f(x) = (\log{x})^2$ con diversas fórmulas del término complementario.

Ejercicio 6

Haciendo uso de la fórmula de Taylor para la función \begin{align*} f(x) = (1+x)^{1/3} \end{align*} calcule aproximadamente $1.3^{1/3}$, situando el término complementario en el lugar de las derivadas terceras. Estime el error cometido.

Ejercicio 7

Represente gráficamente una función de la que se tienen los siguientes datos:

• Sea $f$ una función definida, continua y derivable en $\mathbb{R}-\{-1\}$.

• La ecuación $f(x) = 0$ tiene exactamente una solución negativa, que además es única.

• La ecuación $f’(x) = 0$ tiene también una única solución (simple) positiva.

• Se verifica que $f(0) = 4$ y $f(1) = 3/4$.

• La recta $y = x + 1$ es una asíntota oblícua.

• $\lim_{x\rightarrow-1^+_{-}} = +\infty$.

• (a) Haga la representación gráfica de la función sabiendo que es una función racional.

• (b) Obtenga la expresión analítica de una función.