La semana en problemas (S14)

Esta semana se proponen algunos enunciados relacionados con matrices, estructuras algebraicas y espacios vectoriales.

Ejercicio 1

Considérese el conjunto $\mathcal{A}$ de las matrices cuadradas de orden tres de la forma siguiente: \begin{align*} M(x) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & x \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad\text{donde } x\in\mathbb{R}. \end{align*}

• a) Demuestre que el conjunto $\mathcal{A}$ tiene estructura de grupo conmutativo respecto del producto de matrices.
• b) En este ejercicio se aborda el concepto de grupo, estructura básica de la teoría de conjuntos. Relacione esta con el currículo de Secundaria y dé una aplicación didáctica de algún concepto que aparezca en dicha teoría.

Ejercicio 2

Para cada tres números enteros $x$, $y$ y $z$ se considera la matriz \begin{align*} M(x, y, z) = \begin{bmatrix} 1 & x & y \\ 0 & 1 & z \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}. \end{align*}

• a) Pruebe que el conjunto $\mathcal{A}$ de todas estas matrices $M(x,y,z)$ es un grupo respecto del producto de matrices.
• b) Halle el conjunto $\mathcal{B}$ de todas las matrices de $\mathcal{A}$ que conmutan con todas las matrices de este grupo.
• c) Pruebe que $\mathcal{B}$ es un subgrupo de $\mathcal{A}$ isomorfo al grupo aditivo de los enteros.

Ejercicio 3

Sea $\mathcal{M}_{\mathbb{C}}$ el conjunto de todas las matrices $2\times 2$ de la forma \begin{align*} M(a, b) = \begin{bmatrix} a & -b \\ b & a \end{bmatrix}, \quad (a,b\in\mathbb{R}) \end{align*}

• a) Demuestre que $\mathcal{M}_{\mathbb{C}}$ tiene estructura algebraica de cuerpo conmutativo con las operaciones usuales de suma y producto de matrices.
• b) Demuestre que $\mathcal{M}_{\mathbb{C}}$ es isomorfo al cuerpo $\mathbb{C}$ de los números complejos, hallando el isomorfismo $f:\mathbb{C}\rightarrow\mathcal{M}_{\mathbb{C}}$ correspondiente.
• c) Utilizando el isomorfismo definido en b), calcule \begin{align*} \sqrt[4]{ \begin{bmatrix} -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix} }. \end{align*}

Ejercicio 4

Sea $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ el espacio vectorial real de todas las matrices cuadradas de tamaño $2\times 2$, y sea $M\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ una matriz que cumple la igualdad: \begin{align} M^2 - 2M - 3I = 0.\qquad (1) \end{align}

Sea asimismo $V$ el subespacio vectorial de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ engendrado por $M$ e $I$.

• a) Determine todas las matrices $M$ que cumplen la relación (1) y que son tales que la dimensión de $V$ es $1$.
• b) Halle todas las soluciones de la ecuación (1) de la forma \begin{align*} M = \begin{bmatrix} p & q \\ q & p \end{bmatrix}. \end{align*}
• c) Se supone que $M$ cumple (1) y es distinta de las matrices obtenidas en a). Determine, en el espacio $V$ correspondiente, todas las matrices $P$ tales que $P^2 = P$.

Ejercicio 5

En el espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden dos, consideramos los subespacios $L$ y $M$ siguientes: \begin{align*} L & = \left\{ \begin{bmatrix} a-b+2c & b-2c\\ 0 & 2c \end{bmatrix} : a,b,c\in\mathbb{R} \right\};\\ M &= \mathcal{L} \left\{ \begin{bmatrix} 1 & -1\\ 0 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 1\\ 0 & -1 \end{bmatrix} \right\}. \end{align*}

• a) Determine el subespacio $L\cap M$ y compruebe que $L = L + M$, decidiendo además si se trata de una suma directa.
• b) Sea $\mathcal{B}_L = \{U,V,W\}$ la base de $L$ en la que \begin{align*} U = \begin{bmatrix} 1 & -1\\ 0 & 0 \end{bmatrix},\quad V = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{bmatrix},\quad W = \begin{bmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{bmatrix} \end{align*} y sea $f:L\rightarrow L$ la aplicación lineal dada por $f(U) = V$, $f(V) = U$ y $f(W) = W$. Halle la matriz de $f$ respecto de la base $\mathcal{B}_L$ y los subespacios $ker(f)$ e $img(f)$.

Ejercicio 6

En el espacio vectorial $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ de las matrices cuadradas de orden $2$ se considera la base \begin{align*} \mathcal{B} = \left\{ \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 2 & 0 \end{bmatrix} \right\} \end{align*} y los conjuntos \begin{align*} S & = \{A\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R}: A^t = A)\} \\ U & = \left\{ A\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R}): A\cdot \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \right\} \\ V & = \mathcal{L} \left\{ \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \right\} \end{align*}

• a) Demuestre que $U$ es un subespacio de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$.
• b) Calcule ecuaciones paramétricas e implícitas de $S\cap V$ respecto de la base canónica de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$.
• c) Dé ecuaciones paramétricas e implícitas de $U$ respecto de la base $\mathcal{B}$.
• d) Razone la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones, en las que $W$ es un espacio vectorial de dimensión $2021$:
  • i) En $W$ puede existir un sistema generador con $2022$ vectores.
  • ii) $2020$ vectores distintos de $W$ siempre son linealmente indpendientes.