La semana en problemas (S21)

Esta semana se proponen algunos enunciados relacionados con integrales (áreas).

Ejercicio 1

Determine el área limitada por el eje $OX$, la curva de ecuación $$y = 2\sin^2{x} - 3\cos{x}$$ y dos abscisas separadas entre sí por una distancia igual al período de una curva.

Ejercicio 2

Determine el área de la región del primer cuadrante del plano limitada por la curva $y = e^{-x}\sin{x}$ y el eje $OX$.

Ejercicio 3

Sea la región $R$ del plano definida por la parte positiva de los ejes de coordenadas y la curva $y = 2\cos{x}$, $0\leq x\leq \frac{\pi}{2}$. Halle el valor del parámetro $a$ tal que la curva $y = a\sin{x}$ divida a la región $R$ en dos regiones de igual área.

Ejercicio 4

• (a) Obtenga, con la ayuda del cálculo integral, el área encerrada por la curva $4x^2 + 4y^2 - 4x - 12y - 26 = 0$.
• (b) Calcule $b\in\mathbb{R}$ para que el área encerrada entre las curvas $y = x^2$ e $y = bx$ sea igual a $9/2$.

Ejercicio 5

Dada la curva $y(x^2 + y^2) - (x^2 - y^2) = 0$, se pide:

• (a) Obtenga su representación gráfica.
• (b) Calcule el área limitada por el bucle de la curva.