La semana en problemas (S22)

Esta semana se proponen algunos enunciados relacionados con integrales (áreas).

Ejercicio 1

Dada la curva definida por la función $f(x) = \ln{x}$, se pide:

• (a) Halle la longitud del arco de esta curva entre las abscisas $1/2$ y $3/2$.
• (b) Halle el área comprendida entre la curva, el eje $OX$ y las ordenadas correspondientes a las abscisas $1/2$ y $3/2$.
• (c) En este ejercicio se aborda el concepto de integral y algunas aplicaciones. Relaciónelo con el currículum de Bachillerato y dé alguna aplicación didáctica del mismo.

Ejercicio 2

Se considera la función $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ dada por:

\begin{align*} f(x) = \ln{\frac{e^x-1}{e^x+1}} \end{align*}

• (a) Realice su estudio y representación gráfica.
• (b) Halle la longitud del arco de curva de $y = f(x)$ entre $x = 2$ y $x = 4$.

Ejercicio 3

Como aplicación de la integral definida, obtenga el volumen de un sólido cuya base es el círculo de inecuación $x^2 + y^2 - 4x \leq 0$, en cierta referencia rectangular del espacio euclídeo, sabiendo que cuando a dicho sólido se le producen secciones perpendiculares al eje $OX$, se obtienen triángulos cuya altura es el cuadrado de la distancia de cada sección al origen de coordenadas.

Ejercicio 4

Dada la función real de variable real definida por

\begin{align*} f(x) = \frac{x^3}{(1 + x)^2} \end{align*}

• (a) Represente gráficamente la función $f$ haciendo un estudio previo de sus propiedades
• (b) Halle el área de la región acotada comprendida entre la gráfica de la función, la asíntota oblícua de la curva $y = f(x)$ y la recta $4y + 7x - 8 = 0$.

Ejercicio 5

Sea la función

\begin{align*} f(x) = \frac{e^x}{|e^x - 1|} \end{align*}

• (a) Estudiarla y representarla gráficamente.
• (b) Probar que la restricción $f_1$ de $f$ al intervalo $(0, +\infty)$ admite una aplicación inversa y hallarla.
• (c) Calcular el número real $I(\alpha)$, donde $\alpha$ es real y estrictamente positivo, y el límite de $I(\alpha)$ cuando $\alpha$ tiende a $+\infty$, definido por \begin{align*} I(\alpha) = \int_{\alpha}^{\alpha+1}{f(x)dx} \end{align*}