La semana en problemas (S01)
Problemas de números naturales
Fotografía de Jeswin Thomas, disponible en Unsplash.
Esta semana se proponen algunos enunciados relacionados con los números naturales (descomposiciones polinómicas, paridad e imparidad, ecuaciones con soluciones naturales, cuadrados y cubos perfectos, y cambios de base).
Ejercicio 1
En la pizarra está escrito un número de tres cifras, todas distintas. Ana intercambia la primera cifra con la última. La suma del número escrito en la pizarra más el número de Ana es igual a $92$ veces la suma de los dígitos del número escrito en la pizarra. Determina todos los posibles valores del número escrito en la pizarra.
Solución
$216$, $315$, $513$, $612$, $729$, $810$ y $927$
Ejercicio 2
Si un número natural es cuadrado perfecto, demuestra:
- a) Si la cifra de las unidades es $6$, la de las decenas es impar.
- b) Si la cifra de las unidades es $1$, la de las decenas es par.
- c) Si la cifra de las unidades es $5$, la de las decenas es $2$.
Ejercicio 3
En una batalla en la que participaron entre $10000$ y $11000$ soldados resultaron muertos $\frac{23}{165}$ y heridos $\frac{35}{143}$ del total, respectivamente. Halla cuántos resultaron ilesos.
Solución
$6605$
Ejercicio 4
Encuentra el menor número natural $n$ tal que $\frac{n}{2}$ es cuadrado perfecto, $\frac{n}{3}$ es cubo perfecto y $\frac{n}{5}$ es potencia quinta perfecta.
Solución
$2^{15}3^{10}5^6$
Ejercicio 5
Halla un número natural, cuadrado perfecto, que en base $7$ se escribe en la forma $ab0cb$ y tal que $a = c + 1$.
Solución
$10000_{(7}$ y $62052_{(7}$
Ejercicio 6
Responde razonadamente a las siguientes cuestiones:
- a) Calcula la base $n$ del sistema de numeración en el que $3753_{(n} - 3586_{(n} = 189_{(n}$.
- b) Una vez hallado el valor de $n$, deduzca cuál es el criterio de divisibilidad por $n - 1$ en dicha base $n$.
- c) Pasa el primero de los números dados al sistema de numeración de base $9$.
Solución
- a) $n = 12$
- c) $8520_{(9}$
Ejercicio 7
Encuentra un número $N$ de cinco cifras diferentes y no nulas que sea igual a la suma de todos los números de tres cifras que se pueden formar con las cinco cifras de $N$.
Solución
$35964$
Ejercicio 8
Halla el número de $n$-uplas $(a_1, a_2,\ldots, a_n)$, de componentes $a_i$ número enteros positivos, que satisfacen las tres ecuaciones siguientes: $$ \left\{ \sum_{i=1}^{n}{a_i} = 26, \sum_{i=1}^{n}{a^2_i} = 72, \sum_{i=1}^{n}{a^3_i} = 224. \right\} $$
Solución
$41580$
Ejercicio 9
El número $54637$ está expresado en base $8$. Expresa dicho número en base $12$.
Solución
$1133B_{(12)}$
Ejercicio 10
¿En qué sistema de numeración se representa el número $63$ con tres cifras iguales?
Solución
$4$
Ejercicio 11
Demuestra que no existe ningún número natural que resulte ser la mitad del número que se obtiene al pasar su cifra inicial a la final.
