La semana en problemas (S02)

Esta semana se proponen algunos enunciados relacionados con los números enteros (divisibilidad, congruencias y pequeño teorema de Fermat).

Ejercicio 1

Demuestra que, siendo $n\in\mathbb{Z}$, la expresión $$ \frac{n^5 - 5n^3 + 4n}{n + 2} $$ siempre es divisible por $24$.

Ejercicio 2

Halla el número $N=2^m5^n$ sabiendo que la suma de sus divisores es $961$.

Ejercicio 3

• a) Prueba que, para todo número entero $n\geq 1$, $n(n^2 + 5)$ es divisible entre 6.
• b) Demuestra que la fracción $$\frac{4n + 5}{2n + 3}$$ es irreducible para cualquier valor $n\in\mathbb{N}$.

Ejercicio 4

Halla un número entero $A$ que no tenga más factores primos que $2$, $5$ y $7$; sabiendo, además, que $5A$ tiene $8$ divisores más que $A$, y que $8A$ tiene $18$ divisores más que $A$. Calcula también la suma de todos los divisores de $A$.

Ejercicio 5

Responde a las siguientes cuestiones:

• a) Determina para qué enteros positivos $n$, $2^n - 1$ es divisible por $7$.
• b) Prueba que $2^n + 1$ nunca es divisible por $7$

Ejercicio 6

Demuestre las siguientes afirmaciones:

• a) Si $5$ no es divisor de $n$, $n^8\equiv 2001(\mod{5})$.
• b) La suma de los cubos de tres enteros consecutivos es congruente con $0$ módulo $9$.
• c) $$ 3^n \equiv \left\{ \begin{aligned} 3(\mod{5}), \qquad & \text{si } n\equiv1(\mod{4}) \\ 4(\mod{5}), \qquad & \text{si } n\equiv2(\mod{4}) \\ 2(\mod{5}), \qquad & \text{si } n\equiv3(\mod{4}) \\ 1(\mod{5}), \qquad & \text{si } n\equiv0(\mod{4}) \\ \end{aligned} \right. $$
• d) Si $m$ es un entero, entonces $m^2$ es congruente con $0$, $1$ o $4$ módulo $8$, es decir, el cuadrado de todo entero, al dividirse entre $8$, deja como posibles residuos $0$, $1$ o $4$.
• e) $3^{308} + 2^{308}$ es múltiplo de $97$.
• f) Para todo entero no negativo $n$, $17$ es un divisor de $3^{4n + 2} + 2^{6n + 3}$.
• g) Si $n$ es un entero que no es divisible por $5$, entonces al dividir $n^4 - 1991$ por $5$, el residuo es $0$.
• h) Si $x$, $y$ y $z$ son números enteros tales que $x^3 + y^3 - z^3$ es múltiplo de $7$, al menos uno de los tres números es divisible por $7$.
• i) Si $a$ es primo con $240$, entonces $240$ es un divisor de $a^4 - 1$.
• j) $1^{1999} + 2^{1999} + 3^{1999}$ es divisible por $11$.