La semana en problemas (S08)

Esta semana se proponen algunos enunciados relacionados con estructuras algebraicas y espacios vectoriales.

Ejercicio 1

Dado el conjunto $A = \{a, b, c\}$ se pide:

• a) Decir de una forma razonada el número de sus particiones, escribiéndolas a continuación.
• b) Demostrar que, dado un conjunto $H$, si se cumple que $P_1 = \{\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_k\}$ y $P_2 = \{\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_p\}$ son particiones del mismo, el conjunto $$P = \{X \subset H | X = \alpha_i \cap \beta_j \neq \varnothing, \forall i,j\}$$ es otra partición de $H$.

Ejercicio 2

Sea $\mathbb{C}^*$ el grupo multiplicativo de los complejos no nulos y $G = \{1, -1, i, -i\}$ (grupo).

• a) Probar que $G$ es un subgrupo de $\mathbb{C}^*$.
• b) Determinar los isomorfismos de $G$ sobre el conjunto $\mathbb{Z}_4$ de las clases residuales módulo $4$.

Ejercicio 3

Responda a las siguientes cuestiones:

• a) El conjunto $\{a + 4b: a,b\in\mathbb{Q}\}$ tiene estructura de anillo respecto de la suma y el producto ordinarios de los números reales. Probar que este anillo no tiene estructura de cuerpo y encontrar un elemento del conjunto que no posea inverso.
• b) En este ejercicio se aborda el concepto de anillo y de cuerpo que, como se sabe, son estructuras algebraicas básicas de la teoría de conjuntos. Relacione ésta con el currículo de secundaria y dé una aplicación didáctica de algún concepto que aparezca en dicha teoría.

Ejercicio 4

Demuestre que el núcleo de un homomorfismo de anillos es un ideal.

Ejercicio 5

Demuéstrese que el conjunto $C = \{(x,y,y,-x)\in\mathbb{R}^4: x,y\in\mathbb{R}\}$ con las operaciones \begin{align*} (x,y,y,-x) + (w,z,z,-w) & = (x+w, y+z, y+z, -(x+w)), \\ k(x,y,y,-x) & = (kx, ky, ky, -kx), k\in\mathbb{R}, \end{align*} constituye un espacio vectorial de dos dimensiones.

Ejercicio 6

Dado el número real $a$, considérese la matriz $A\in M_{4\times 3}(\mathbb{R})$ y el vector $b\in\mathbb{R}^4$ siguientes: \begin{align*} A = \begin{bmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{bmatrix}, b = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ a-2 \\ a^2 \end{bmatrix}, \end{align*} y el subespacio $F$ de $\mathbb{R}^4$ cuyas ecuaciones implícitas en la base canónica de $\mathbb{R}^4$ son \begin{align*} F = \left\{ \begin{aligned} x_1 + x_2 - x_4 & = 0 \\ x_1 + x_3 + x_4 & = 0 \end{aligned} \right. \end{align*}

• a) Discuta, y resuelva cuando sea compatible, el sistema $AX = b$.
• b) Calcule unas ecuaciones implícitas del subespacio $E$ de $\mathbb{R}^4$ generado por las columnas de $A$.
• c) Encuentre una base del subespacio $E\cap F$.
• d) Calcule la matriz respecto de las bases canónicas de $\mathbb{R}^3$ y $\mathbb{R}^4$ de la aplicación lineal $T:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}^4$ que cumple \begin{align*} T(e_1) = f(e_2+e_3),\quad T(e_2) = f(e_3),\quad\text{y}\quad T(e_3)=f(e_2), \end{align*} donde $B := \{e_1, e_2, e_3\}$ es la base canónica de $\mathbb{R}^3$ y $f\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}^4$ es la aplicación lineal cuya matriz asociada en las respectivas bases canónicas de $\mathbb{R}^3$ y $\mathbb{R}^4$ es $A$.

Ejercicio 7

En el espacio vectorial $\mathbb{Q}^4$ se consideran los subespacios: \begin{align*} S_1 = \left\langle \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix} \right\rangle, S_2 = \left\{ \begin{aligned} x-y & =0 \\ x-z & =0 \end{aligned} \right. \text{ y } S_3 = \{y+z = 0\}. \end{align*}

• a) Halle $dim(S_1+S_2)$ y $dim(S_1\cap S_2)$.
• b) Halle una base de $S_1\cap S_3$.
• c) ¿Qué dimensión tiene $S_1+S_3$.

Ejercicio 8

• a) Demostrar que el subconjunto de $\mathbb{R}^4$ formado por todas las cuaternas $(x,y,z,t)$ que verifican las relaciones: \begin{align*} \left\{ \begin{aligned} x+y+z+t & =0 \\ x-y+z-t & =0 \end{aligned} \right. \end{align*} forma un subespacio vetorial de $(\mathbb{R}^4, +, \cdot)$.
• b) Probar que los vectores $\{u_1 = (2,1,-2,-1), u_2 = (1,0,-1,0)\}$ forman una base para dicho subespacio vectorial.
• c) Hallar las coordenadas del vector $u = (4,1,-4,-1)$ respecto de la base $\{u_1, u_2\}$.