La semana en problemas (S09)

Problemas de espacios vectoriales

Fotografía de Jeswin Thomas, disponible en Unsplash.

Esta semana se proponen algunos enunciados relacionados con espacios vectoriales.

Ejercicio 1

Sea la aplicación f:R3R2 dada por f(1,0,1)=(0,1), f(0,0,1)=(1,1) y f(2,1,1)=(1,0).

  • a) Hallar la matriz de f respecto de las bases canónicas.
  • b) Hallar la matriz de f respecto de las bases B1={(1,0,1),(0,0,1),(2,1,1)} y B2={(0,1),(1,0)}.
  • c) Hallar las ecuaciones y dimensión de kerf e imgf.

Ejercicio 2

Consideremos el espacio vectorial C3 sobre el cuerpo C de los números complejos, y sea f:C3C3 la aplicación lineal dada por f(x,y,z)=(5x,z,y).

  • a) Hallar el núcleo y la imagen de f. ¿Se puede deducir alguna propiedad sobre f de los resultados obtenidos en este apartado?
  • b) Dar las dimensiones y unas bases de los subespacios hallados en a).
  • c) Calcular los autovalores y autovectores de la matriz A asociada a f respecto de la base canónica. Indicar los subespacios vectoriales propios.
  • d) Justificar si A es diagonalizable. En caso afirmativo, encontrar la matriz diagonal D y la matriz de paso P. ¿Es la matriz D hermítica?
  • e) Hallar la expresión general de la matriz An, para nN, y comprobar que para n=1 se obtiene la matriz A, lo que es necesario para que los apartados c), d) y e) estén bien resueltos.
  • f) Hallar la expresión general de la matriz An cuando n=3(mod 4).
  • g) Demostrar que si n es par, la matriz An es diagonal y calcular su determinante.

Ejercicio 3

Sean f y g dos endomorfismos del espacio vectorial R3 definidos para todo (x,y,z)R3 como sigue: f(x,y,z)=(x+y,2xz,2y+z),g(x,y,z)=(x,y,0)

  • a) Halle una base, unas ecuaciones y la dimensión del núcleo de f y del núcleo de g.
  • b) Halle una base, unas ecuaciones y la dimensión de la imagen de f y de la imagen de g.
  • c) Determine las matrices asociadas a los endomorfismos f, g, fg y gf en la base canónica de R3.

Ejercicio 4

Sea f:R4R3 una aplicación lineal con matriz asociada en las bases {ei} de R4 y {ei} de R3: A=[301121151210]

  • a) Calcula la expresión matricial de la aplicación.
  • b) Calcula kerf y una base suya.
  • c) Calcula imgf y una base suya.
  • d) Escribe las bases canónicas de f respecto a R4 y R3.

Ejercicio 5

Sea E un K-espacio vectorial con una base B={u1,u2,u3}. Sea f la única aplicación lineal f:EE tal que f(u1)=u2+u3, f(u2)=u1+u2+2u3 y f(u3)=2u1+2u2+2u3. Si K=R, E=R3, B={(1,2,1),(1,0,1),(0,0,1)}, calcule

  • a) f(3,2,1)
  • b) La matriz de f respecto de la base B.
  • c) La dimensión del núcleo de f.
  • d) La dimensión de la imagen de f.

Ejercicio 6

Sea f:R3R3 un endomorfismo tal que {f(u1)=u1+2u2u3f(u2)=3u1u2+5u3f(u3)=2u1+u2+2u3 donde B={u1,u2,u3} es una base para el espacio vectorial (R3,+,). Hallar la matriz de la aplicación lineal f respecto de la base B={v1,v2,v3}, en la que las imágenes de los vectores v1, v2 y v3 se expresan en las columnas de la matriz, donde {v1=u2+u3v2=u1+u3v3=u1+u2

Alexis Sáez
Alexis Sáez
Profesor de matemáticas

Cazador de problemas matemáticos en parajes opositores.