La semana en problemas (S09)
Problemas de espacios vectoriales

Esta semana se proponen algunos enunciados relacionados con espacios vectoriales.
Ejercicio 1
Sea la aplicación
- a) Hallar la matriz de
respecto de las bases canónicas. - b) Hallar la matriz de
respecto de las bases y . - c) Hallar las ecuaciones y dimensión de
e .
Ejercicio 2
Consideremos el espacio vectorial
- a) Hallar el núcleo y la imagen de
. ¿Se puede deducir alguna propiedad sobre de los resultados obtenidos en este apartado? - b) Dar las dimensiones y unas bases de los subespacios hallados en a).
- c) Calcular los autovalores y autovectores de la matriz
asociada a respecto de la base canónica. Indicar los subespacios vectoriales propios. - d) Justificar si
es diagonalizable. En caso afirmativo, encontrar la matriz diagonal y la matriz de paso . ¿Es la matriz hermítica? - e) Hallar la expresión general de la matriz
, para , y comprobar que para se obtiene la matriz , lo que es necesario para que los apartados c), d) y e) estén bien resueltos. - f) Hallar la expresión general de la matriz
cuando . - g) Demostrar que si
es par, la matriz es diagonal y calcular su determinante.
Ejercicio 3
Sean
- a) Halle una base, unas ecuaciones y la dimensión del núcleo de
y del núcleo de . - b) Halle una base, unas ecuaciones y la dimensión de la imagen de
y de la imagen de . - c) Determine las matrices asociadas a los endomorfismos
, , y en la base canónica de .
Ejercicio 4
Sea
- a) Calcula la expresión matricial de la aplicación.
- b) Calcula
y una base suya. - c) Calcula
y una base suya. - d) Escribe las bases canónicas de
respecto a y .
Ejercicio 5
Sea
- a)
- b) La matriz de
respecto de la base . - c) La dimensión del núcleo de
. - d) La dimensión de la imagen de
.
Ejercicio 6
Sea