La semana en problemas (S10)

Esta semana se proponen algunos enunciados relacionados con polinomios.

Ejercicio 1

Dado $P_3$, espacio vectorial de los polinomios reales de variable real de grado menor o igual que $3$:

• a) Demuestre que $\{1, x+1, (x+1)^2, x^3\}$ es una base.
• b) Halle las componentes de $(x+1)^3$ respecto a dicha base.
• c) Fijando como base de $P_3$ la del apartado a), determine la matriz de la aplicación lineal $f$ que a cada polinomio le hace corresponder su derivada.

Ejercicio 2

Sea $P_n$ el espacio vectorial de los polinomios reales de variable real de grado menor o igual que $n$.

• a) Pruebe que $B_1 = \{p_0, p_1, \ldots, p_n\}$, donde $p_i(x) = x^i$, $i = 0,1,\ldots,n$ es una base de $P_n$.
• b) Pruebe que $B_2 = \{q_0, q_1, \ldots, q_n\}$, donde $q_i(x) = (1+x)^i$, $i = 0,1,\ldots,n$ también es base de $P_n$.
• c) Exprese las ecuaciones del cambio de la base $B_2$ a $B_1$.
• d) Demuestre que, para $k\leq n$, es \begin{align*} \binom{k}{k} + \binom{k+1}{k} + \binom{k+2}{k} + \cdots + \binom{n}{k} = \binom{n+1}{k}. \end{align*}
• e) Si las coordenadas del polinomio $r(x)$ en la base $B_2$ son $(1,1,\ldots,1)$, determine sus coordenadas en la base $B_1$.

Ejercicio 3

Halle $a$ y $b$ para que el polinomio $p(x) = ax^{n+1} + bx^n + 1$ sea divisible por $(x-1)^2$.

Ejercicio 4

Pruebe que el polinomio $p(x) = x(x+1)(x+2)(x+3) + 1$ es un cuadrado perfecto en $\mathbb{R}[x]$.

Ejercicio 5

Halle todos los polinomios $P(x)$ con coeficientes reales tal que \begin{align*} P(x+2) - 2P(x+1) + P(x) = x, \end{align*} sabiendo que $P(0) = \frac{1}{6}$ y que $P(3) = \frac{2}{3}$.

Ejercicio 6

Sea $\mathbb{R}^3[x]$ el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que $3$ con coeficientes reales y sea $B_1 = \{1, x, x^2, x^3\}$ la base canónica de $\mathbb{R}^3[x]$. Se consideran los subespacios vectoriales \begin{align*} U_1 & := L\{x^2+2x, -x^2+x, x^2+x\}, \\ U_2 & := \{a+bx+cx^2+dx^3\in\mathbb{R}^3[x]:b+c=0, 2b-c=0\},\text{ y} \\ U_3 & := \{a+bx+cx^2+dx^3\in\mathbb{R}^3[x]:a=0, b=-\beta,c=0,d=\alpha+\beta,\alpha,\beta\in\mathbb{R}\}. \end{align*}

• a) Calcule $U_1\cap U_2$ y $U_1+U_2$. ¿Son $U_1$ y $U_2$ suplementarios?
• b) Calcule unas ecuaciones cartesianas respecto de la base $B_1$ de $U_1$ y $U_2$.
• c) Encuentre una aplicación lineal $h:\mathbb{R}^3[x]\mapsto \mathbb{R}^4$ cuyo núcleo sea $U_1$.
• d) Halle la matriz de la aplicación lineal anterior respecto de las bases $B_1$ y \begin{align*} B_2 := \{u_1:&=(1,0,0,0),\\ u_2:&=(1,1,0,0),\\ u_3:&=(1,1,1,0),\\ u_4:&=(1,1,1,1)\}. \end{align*}
• e) ¿Es la matriz hallada en el apartado anterior equivalente a la matriz \begin{align*} A = \begin{bmatrix} 3 & 4 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}? \end{align*}