La semana en problemas (S11)

Esta semana se proponen algunos enunciados relacionados con ecuaciones.

Ejercicio 1

Demuestre que la ecuación algebraica con coeficientes enteros $x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_0 = 0$ no tiene raíces racionales no enteras.

Ejercicio 2

Discuta las soluciones de la ecuación $x^4 - 8x^3 + 22x^2 - 24x + m = 0$ según los valores reales de $m$ y obténgalas.

Ejercicio 3

Halle todas las soluciones formadas por números enteros de la ecuación: \begin{align*} x_1^2 &+ x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 + x_5^2 + x_6^2 + x_7^2 + x_8^2 = \\ &x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 + x_7 + x_8. \end{align*}

Ejercicio 4

Sean $a$ y $b$ dos números reales que satisfacen las igualdades \begin{align*} \left\{ \begin{aligned} a^3 - 3a^2 + 5a - 17 & = 0 \\ b^3 - 3b^2 + 5b + 11 & = 0 \end{aligned} \right.. \end{align*} Calcule el valor de $a + b$.

Ejercicio 5

Dada la función \begin{align*} f(x) = \frac{x}{\ln{x}} \end{align*} se pide:

• a) Represéntela.
• b) Halle, según los valores de $a\in\mathbb{R}$, el número de soluciones de la ecuación $x - a\ln{x} = 0$.

Ejercicio 6

Sean $a$ y $b$ dos números enteros. Demuestre que la ecuación \begin{align*} (x-a)(x-b)(x-3) + 1 = 0 \end{align*} tiene, a lo sumo, una solución entera.

Ejercicio 7

Determine $a$ y $b$ para que las raíces del polinomio con coeficientes reales \begin{align*} p(x) = x^4 - 8x^3 + 14x^2 + ax + b \end{align*} estén en progresión aritmética. Halle dichas raíces.

Ejercicio 8

Halle las raíces racionales de $4x^3 + 8x^2 + x - 3 = 0$.

Ejercicio 9

Si $a$, $b$ y $c$ son las raíces de la ecuación $x^3 + x + k^2 + 1 = 0$, calcule el valor de \begin{align*} \frac{(a+b)^3 + (b+c)^3 + (c+a)^3 + 6abc}{abc}. \end{align*}