La semana en problemas (S12)

Esta semana se proponen algunos enunciados relacionados con ecuaciones (haciendo hincapié en su resolución numérica) y con ecuaciones diofánticas.

Ejercicio 1

Responda a las siguientes cuestiones:

• a) Demuestre que todo polinomio de grado impar con coeficientes reales tiene, por lo menos, una raíz real.
• b) Razone entonces que el polinomio $x^8 + 3x^3 - 1$ tiene al menos dos raíces reales y distintas.
• c) Demuestre que el polinomio $x^3 - 3x + a$ no puede tener más de una raíz en el intervalo $[-1, 1]$.
• d) ¿Para qué valores de $a$ el polinomio $x^3 - 3x + a$ no tiene raíz alguna en el intervalo $[-1, 1]$?
• e) Demuestre que todo número real positivo tiene raíz cuadrada positiva.
• f) Halle una solución de la ecuación $x^3 + x^2 -7x + 1 = 0$, con un error menor que $0.07$.
• g) Estudie la continuidad de la función $g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ dada por \begin{align*} g(x) = \left\{ \begin{aligned} x, &\quad \text{si } x\in\mathbb{Q} \\ 2x, &\quad \text{si} x\notin\mathbb{Q} \end{aligned} \right.. \end{align*}
• h) Sea $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ una función continua tal que $f(x)\in\mathbb{Q}$ para todo $x\in\mathbb{R}$. Demuestre que $f$ es necesariamente una función constante.

Ejercicio 2

La ecuación $x - e^{-x} = 0$ tiene una solución en el intervalo $[0.5, 0.6]$. Para aproximar dicha solución se consideran los métodos de Lagrange, de Newton y de las aproximaciones sucesivas basado en la función $g$ definida por $g(x) = -\ln{x}$. Justifique la existencia de dicha solución y analice la conveniencia de utilizar un método u otro para aproximarla.

Ejercicio 3

Un hombre acude a un banco para cobrar un cheque por valor de $E$ euros y $C$ céntimos. El cajero, por error, le entrega un sobre con $C$ euros y $E$ céntimos. El cliente no se da cuenta del error hasta que gasta $23$ céntimos y, además, observa que en ese momento tiene $2E$ euros y $2C$ céntimos. ¿Cuál es el valor del cheque?

Ejercicio 4

Responda razonadamente a las siguientes cuestiones:

• a) Halle un conjunto infinito de ternas $(a, b, c)$ formadas por números naturales distintos que sean solución de la ecuación \begin{align*} a^2 + b^2 + c^2 = 2c(a + b). \end{align*}
• b) Demuestre que la ecuación \begin{align*} a^3 + b^3 - c^3 = 3b(a - c)(a + c - b) \end{align*} no tiene soluciones $(a, b, c)\in\mathbb{N}^3$ tales que $a < b < c$.