La semana en problemas (S13)

Esta semana se proponen algunos enunciados relacionados con matrices, programación lineal y determinantes.

Ejercicio 1

Discuta y resuelva el siguiente sistema según los valores de $m\in\mathbb{R}$: \begin{align*} S: \left\{ \begin{aligned} -x + (1+m)y + (2-m)z + mt & = 3 \\ mx + y + (2-m)z + mt & = 2 \\ mx + my + (2-m)z + mt & = 2 \\ mx + my + (2-m)z - t & = 2 \end{aligned} \right. \end{align*}

Ejercicio 2

Discuta, según los valores reales de $a$ y $b$, el sistema siguiente y resuélvalo cuando sea compatible determinado. \begin{align*} \left\{ \begin{aligned} ax + by + z & = 1 \\ x + aby + z & = b \\ x + by + az & = 1 \end{aligned} \right. \end{align*}

Ejercicio 3

Una confitería de Santander es famosa por sus dos especialidades de tartas: la tarta de chocolate y la tarta de limón. La tarta de chocolate requiere para su elaboración medio kilo de azúcar y ocho huevos y tiene un precio de venta de $8$ euros. La tarta de limón necesita un kilo de azúcar y ocho huevos y se vende a $10$ euros la unidad. En el almacén de la confitería quedaban diez kilos de azúcar y ciento veinte huevos. ¿Cuántas unidades de cada tipo de tarta han de producirse para obtener el mayor ingreso por ventas

Ejercicio 4

Sea $n\in\mathbb{N}$. Determine todas las matrices $A\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ tales que \begin{align*} A^n = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}. \end{align*}

Ejercicio 5

Sea $n$ un número natural no nulo. Determine la matriz \begin{align*} S_n = \binom{n}{1}X^2 + \binom{n}{2}X^4 + \cdots + \binom{n}{n}X^{2n} \end{align*} donde \begin{align*} X = \begin{bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{bmatrix} \in\mathcal{M}_2(\mathbb{C}) \end{align*} e $i$ es la unidad imaginaria.

Ejercicio 6

Calcule la potencia enésima de la matriz \begin{align*} A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}. \end{align*}