La semana en problemas (S15)

Esta semana se proponen algunos enunciados relacionados con matrices y determinantes.

Ejercicio 1

Demuestre que la siguiente matriz $A$ es diagonalizable sobre el cuerpo $\mathbb{R}$ de los números reales y encuentre una matriz regular $P$ de números reales tal que $P^{-1}AP$ sea una matriz diagonal. \begin{align*} A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & -1 & 0 \\ 4 & -3 & 1 & -3 \\ 6 & -6 & 3 & -6 \\ 2 & -2 & 1 & -2 \end{bmatrix} \end{align*}

Ejercicio 2

Se considera la aplicación $f:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}^3$ definida por \begin{align*} f(x, y, z) = (x - 4y, -y, 2y + z). \end{align*}

• a) Demuestre que $f$ es endomorfismo del espacio vectorial $\mathbb{R}^3$.
• b) Determine la expresión matricial de $f$ respecto de la base canónica de $\mathbb{R}^3$.
• c) Calcule el núcleo y la imagen de $f$.
• d) Calcule los valores propios de $f$ y los subespacios de vectores propios asociados.
• e) Determine si la matriz $A$ asociada a la aplicación lineal $f$ en la base canónica es diagonalizable y, en caso afirmativo, calcule una matriz diagonal semejante a $A$ y una matriz de paso correspondientes.
• f) Calcule la matriz $A^9$.

Ejercicio 3

Dado el determinante de orden $n$: \begin{align*} D = \begin{vmatrix} 8 & 3 & 3 & \ldots & 3 & 3 \\ 3 & 8 & 3 & \ldots & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 8 & \ldots & 3 & 3 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 3 & 3 & 3 & \ldots & 8 & 3 \\ 3 & 3 & 3 & \ldots & 3 & 8 \end{vmatrix} \end{align*}

• a) Calcule su valor.
• b) Determine para qué enteros positivos $n$ dicho valor es múltiplo de $10$.

Ejercicio 4

Calcule el valor del determinante: \begin{align*} D = \begin{vmatrix} x - 1 & x^2 - 1 & x^3 - 1 & x^4 - x^3 + x - 1 \\ 2x - 4 & x^2 - 4 & x^3 - 8 & x^4 - 2x^3 + 2x - 4 \\ 3x - 9 & x^2 - 9 & x^3 - 27 & x^4 - 2x^3 + 3x - 9 \\ 4x - 16 & x^2 - 16 & x^3 - 64 & x^4 - 4x^3 + 4x - 16 \end{vmatrix} \end{align*}

Ejercicio 5

Calcule el valor del siguiente determinante de orden $n\in\mathbb{N}$: \begin{align*} A_n = \begin{vmatrix} 1 + x & 1 & 1 & \ldots & 1 \\ 1 & 1 + x & 1 & \ldots & 1 \\ 1 & 1 & 1 + x & \ldots & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & 1 & 1 & \ldots & 1 + x \end{vmatrix} \end{align*}

Ejercicio 6

Calcule el valor del siguiente determinante de orden $n$: \begin{align*} D_n = \begin{vmatrix} 1 + x^4 & x^2 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ x^2 & 1 + x^4 & x^2 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & x^2 & 1 + x^4 & x^2 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & x^2 & 1 + x^4 & \ldots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 1 + x^4 & x^2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & x^2 & 1 + x^4 \end{vmatrix} \end{align*}

Ejercicio 7

Sea $x\in\mathbb{R}$ y sea $D_n$ el siguiente determinante de orden $n$: \begin{align*} D_n = \begin{vmatrix} 1 + x^2 & x & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ x & 1 + x^2 & x & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & x & 1 + x^2 & x & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & x & 1 + x^2 & \ldots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 1 + x^2 & x \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & x & 1 + x^2 \end{vmatrix} \end{align*}

• a) Calcule el polinomio ordenado en $x$ que resulta al desarrollar $D_n$.
• b) En este ejercicio se abordan conceptos como polinomios ordenados, determinantes y matrices. Relaciónelos con el currículum del bachillerato y dé alguna aplicación didáctica de los mismos.