La semana en problemas (S16)

Esta semana se proponen algunos enunciados relacionados con funciones.

Ejercicio 1

Demuestre que cualquier aplicación lineal de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$ es una función continua.

Ejercicio 2

Sea $f$ una función real de variable real tal que, para cada $x, y\in\mathbb{R}$, \begin{align*} f(x + y) = f(x) + f(y). \end{align*}

• a) Calcule la expresión de $f(x)$, para $x\in\mathbb{Q}$.
• b) Demuestre que si $f$ es continua, entonces $f(x) = ax$ para todo $x\in\mathbb{R}$, donde $a$ es una constante.

Ejercicio 3

Supongamos que $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$, siendo $f$ no nula y cumpliendo que: \begin{align} f(x + y) = f(x)\cdot f(y),\qquad \forall x, y\in\mathbb{R}. \end{align} Demuestre que si $f$ es continua, existe una constante $c\in\mathbb{R}$ tal que $f(x) = e^{cx}$.

Ejercicio 4

Demuestre que si una función $f$ real de variable real cumple que \begin{align*} f(x) - f(y) \leq (x - y)^2 \end{align*} para cualesquiera números reales $x$ e $y$, entonces $f$ es una función constante.

Ejercicio 5

La aplicación $f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ cumple, para cualesquiera $m,n\in\mathbb{Z}$, que: \begin{align*} f(m^2 + f(n)) = f(m)^2 + n. \end{align*} Demuestre que:

• a) $f(0) = 0$
• b) $f(1) = 1$
• c) $f(n) = n$, para todo $n\in\mathbb{Z}$.

Ejercicio 6

Sea $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ una función que satisface la relación \begin{align*} f(x + y) = f(x)\cdot f(y) \end{align*} para cualesquiera $x,y\in\mathbb{R}$. Demuestre que:

• a) Si $f$ se anula en un punto, entonces se anula en $\mathbb{R}$.
• b) $f$ es continua si y solo si es continua en un punto de $\mathbb{R}$.

Ejercicio 7

Halle la condición necesaria y suficiente que debe cumplir la base $a$ de un sistema de logritmos para que en dicho sistema exista, al menos, un número igual a su logaritmo.

Ejercicio 8

Resuelva la siguiente ecuación en $\mathbb{R}$, conocido $\alpha\in\mathbb{R}$: \begin{align*} \left(\frac{1+ix}{1-ix}\right)^4 = \frac{1+i\tan{\frac{\alpha}{2}}}{1-i\tan{\frac{\alpha}{2}}}. \end{align*}

Ejercicio 9

Dado $n\in\mathbb{N}$, se considera la ecuación \begin{align*} x^{2n} - 1 = 0. \end{align*}

• a) Calcule sus soluciones en el cuerpo $\mathbb{C}$ de los números complejos.
• b) Demuestre que, para $x\neq\pm 1$ y $n > 1$, se cumple la \emph{identidad de Cotes}: \begin{align*} \frac{x^{2n}-1}{x^2-1} = \prod_{k=1}^{n-1}{\left(x^2 - 2x\cos{\frac{k\pi}{n}} + 1\right)}. \end{align*}
• c) Halle el valor del producto: \begin{align*} \sin{\frac{\pi}{2n}}\sin{\frac{2\pi}{2n}}\cdots\sin{\frac{(n-1)\pi}{2n}}. \end{align*}