La semana en problemas (S22)

Esta semana se proponen algunos enunciados relacionados con integrales (áreas).

Ejercicio 1

Dada la curva definida por la función $f(x)=\ln x$, se pide:

• (a) Halle la longitud del arco de esta curva entre las abscisas $1/2$ y $3/2$.
• (b) Halle el área comprendida entre la curva, el eje $OX$ y las ordenadas correspondientes a las abscisas $1/2$ y $3/2$.
• (c) En este ejercicio se aborda el concepto de integral y algunas aplicaciones. Relaciónelo con el currículum de Bachillerato y dé alguna aplicación didáctica del mismo.

Ejercicio 2

Se considera la función $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ dada por:

• (a) Realice su estudio y representación gráfica.
• (b) Halle la longitud del arco de curva de $y=f(x)$ entre $x=2$ y $x=4$.

Ejercicio 3

Como aplicación de la integral definida, obtenga el volumen de un sólido cuya base es el círculo de inecuación $x^2+y^2-4x\le 0$, en cierta referencia rectangular del espacio euclídeo, sabiendo que cuando a dicho sólido se le producen secciones perpendiculares al eje $OX$, se obtienen triángulos cuya altura es el cuadrado de la distancia de cada sección al origen de coordenadas.

Ejercicio 4

Dada la función real de variable real definida por

• (a) Represente gráficamente la función $f$ haciendo un estudio previo de sus propiedades
• (b) Halle el área de la región acotada comprendida entre la gráfica de la función, la asíntota oblícua de la curva $y=f(x)$ y la recta $4y+7x-8=0$.

Ejercicio 5

Sea la función

• (a) Estudiarla y representarla gráficamente.
• (b) Probar que la restricción $f_1$ de $f$ al intervalo $(0,+\mathrm{\infty })$ admite una aplicación inversa y hallarla.
• (c) Calcular el número real $I(\alpha )$, donde $\alpha$ es real y estrictamente positivo, y el límite de $I(\alpha )$ cuando $\alpha$ tiende a $+\mathrm{\infty }$, definido por $$\begin{array}{r}I(\alpha )={\int }_{\alpha }^{\alpha +1}f(x)dx\end{array}$$