Inducción

I. Divisibilidad

Ejercicio 1.1: Demuestra que el número $n(n^2 + 5)$ es divisible por $6$, para cada número natural $n$.

Ejercicio 1.2: Demuestra que $(3^n - 2n^2 - 1)\equiv 0\pmod{8}$, para cada número natural $n$. ¿Es cierto que dicha expresión también es múltiplo de $24$ para todo número natural $n$?

Ejercicio 1.3: (Andalucía (1987))

• (a) Prueba que, para cada número natural $n$, $(3^n - 2n^2 - 1)\equiv 0\pmod{8}$.
• (b) Prueba que, si $n$ es un número natural que no es múltiplo de $3$, entonces $(3^n - 2n^2 - 1)\equiv 0\pmod{24}$.

Ejercicio 1.4: Demuestra que $3\cdot 5^{2n+1} + 2^{3n+1}$ es divisible por $17$, para cada número natural $n$.

Ejercicio 1.5: Demuestra que $(6^n - 1)(7^n - 1)$ es múltiplo de $30$, para cada número natural $n$.

Ejercicio 1.6: Demuestra que $11^{n+1} + 12^{2n-1}$ es múltiplo de $133$, para cada número natural $n$.

Ejercicio 1.7: Demuestra que $3^{3n+3} - 26n - 27$ es múltiplo de $169$, para cada número natural $n$.