Sistemas de numeración

I. Cambio de base

Ejercicio 1.1:

• (a) $125_{(3}$ a base $10$.
• (b) $231$ a base $5$.
• (c) $0.11_{(2}$ a base $10$.
• (d) $\frac{3}{4}$ a base $2$.
• (e) $0.\overline{1}_{(3}$ a base $10$.
• (f) $\frac{1}{2}$ a base $3$.
• (g) $0.\overline{12}_{(3}$ a base $10$.

II. Divisibilidad

Ejercicio 2.1: (Comunidad Valenciana (2006))

• (a) Halla la base en la que $3753_{(x} - 3586_{(x} = 189_{(x}$.
• (b) Una vez hallada, deduce el criterio de divisibilidad entre $x-1$ de dicha base.
• (c) Justifica si alguno de los números dados es divisible por $x-1$ en dicha base.
• (d) Convierte el primero de los números dados a base $9$.

III. Teoría de números

Ejercicio 3.1: En un sistema de numeración, cuya base se desconoce, dos números se escriben $302$ y $402$. El producto de ambos números es $75583$ en el sistema de numeración en base $9$. Halla la base desconocida.

Ejercicio 3.2: Encuentra, en el sistema decimal, todos los números que en base $7$ se escriben con tres cifras y en base $9$ con las mismas cifras en orden inverso.

Ejercicio 3.3: En la base $x$, $a=0.\overline{37}$ y $b=0.\overline{73}$, mientras que en la base $y$, $a=0.\overline{25}$ y $b=0.\overline{52}$. Halla $x+y$ en base $10$.

Ejercicio 3.4: Demuestra que, en cualquier sistema de numeración, los números $10101$, $101010101$, $1010101010101,\ldots$ no son primos.