Combinatoria

I. Variaciones, permutaciones…

Ejercicio 1.1:

(a) ¿Cuántas formas hay de seleccionar $5$ cartas de una baraja de $48$ cartas con reemplazamiento? ¿Y sin reemplazamiento?
(b) Dadas las letras $a$, $b$, $c$, $d$, $e$, $f$ y $g$, ¿cuántas palabras de cinco letras se pueden formar repitiendo las letras? ¿Y sin repetir?
(c) Un test consta de $20$ cuestiones con $4$ respuestas cada una, ¿cuántos resultados posibles hay?

Ejercicio 1.2: Seis ladrones tienen a su disposición cuatro calles por las que escapar de la policía, ¿de cuántas maneras pueden hacerlo?

Ejercicio 1.3: ¿Cuántas quinielas de fútbol distintas se pueden hacer?

Ejercicio 1.4: Una mano de bridge consta de $13$ cartas de $52$ de una baraja francesa.

(a) ¿Cuántas manos de bridge son posibles?
(b) ¿De cuántas formas se le pueden dar a una persona $6$ picas y $5$ corazones?

Ejercicio 1.5: Una mano de bridge consta de $13$ cartas de $52$ de una baraja francesa. ¿De cuántas formas repartiremos el juego entre cuatro personas?

Ejercicio 1.6: Dada una baraja española de $40$ cartas, halla el número de maneras de conseguir las manos especiales del póker.

Ejercicio 1.7: $8$ componentes de un equipo se alojan en un hotel. Disponen de una habitación triple, dos dobles y una individual. ¿De cuántas formas pueden repartirse?

Ejercicio 1.8: Una clase está compuesta por $7$ chicas y $9$ chicos. ¿De cuánta maneras pueden hacer un comité de $5$ personas de forma que

(a) haya al menos una chica?
(b) haya como mínimo una chica y un chico?

Ejercicio 1.9:

(a) ¿Cuántos números de $3$ cifras hay? ¿Cuántos son pares?
(b) ¿Cuántos números capicúas de $5$ cifras hay? ¿Cuántos son pares? ¿Cuántos números capicúas de $6$ cifras existen?

Ejercicio 1.10:

(a) Un número telefónico tiene siete cifras enteras. Supongamos que la primera debe ser un número entre $2$ y $9$, ambos inclusive. La segunda y la tercera deben ser números entre $1$ y $9$, ambos inclusive. Cada una de las restantes cifras es un número entre $0$ y $9$, ambos inclusive. ¿Cuántos números de teléfono distintos pueden formarse con estas condiciones?
(b) Una empresa produce cerraduras de combinación. Cada combinación consta de $3$ números del $0$ al $99$, ambos inclusive. Por el proceso de construcción de las cerraduras, cada número no puede aparecer más de una sola vez en la combinación de la cerradura. ¿Cuántas cerraduras diferentes pueden construirse?

Ejercicio 1.11:

(a) ¿Cuántas tiras de longitud $n$, formadas por ceros y unos, contienen exactamente $k$ ceros?
(b) ¿Cuántas secuencias de $n$ dígitos decimales hay tales que dos dígitos consecutivos sean diferentes?

Ejercicio 1.12: ¿De cuántas formas se pueden sentar $8$ personas alrededor de una mesa?

Ejercicio 1.13: En una clase hay $32$ chicos. Cada chico conoce a $5$ chicas de la clase y cada chica conoce a $8$ chicos. ¿Cuántas chicas hay?

Ejercicio 1.14: ¿De cuántas maneras pueden hacer cola siete ilicitanos y cinco santapoleros si dos santapoleros no pueden estar juntos?

Ejercicio 1.15: Tenemos $5$ libros de geografía, $7$ libros de lengua y $8$ libros de inglés.

(a) ¿De cuántas maneras se pueden colocar en una estantería?
(b) ¿De cuántas formas se pueden colocar si deben estar juntos los de la misma asignatura?
(c) ¿De cuántas maneras se pueden poner si todos los libros de inglés deben estar juntos?

Ejercicio 1.16: Cada usuario de un ordenador tiene una contraseña con una longitud de entre seis y ocho caracteres, cada uno de los cuales es bien un dígito o bien una letra mayúscula. Cada contraseña debe contener al menos un dígito. ¿Cuántas contraseñas distintas admite el sistema?

Ejercicio 1.17: ¿Cuántos números de seis cifras decimales efectivas (sin ceros a la izquierda) pueden formarse de manera que contengan dos o más doses?

Ejercicio 1.18: Encuentra la suma de los dígitos de los números del $1$ hasta el $1000$.

Ejercicio 1.19: Encuentra la suma de todos los números capicúas de $5$ cifras.

Ejercicio 1.20:

(a) Encuentra la suma de todos los números capicúas impares de $3$ cifras.
(b) Encuentra la suma de todos los números capicúas impares de $5$ cifras.

Ejercicio 1.21: Dados los códigos ordenados de cinco letras entre las ocho: $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$, $G$ y $H$ (repetidas o no), se pide

(a) Número total de códigos.
(b) Número de ellos con una sola letra repetida dos veces (ejemplo: $ABACH$).
(c) Número de ellos con dos letras repetidas dos veces cada una (ejemplo: $ABBCA$).
(d) Número de ellos con una letra repetida tres veces (ejemplo: $AABAE$).
(e) Número de ellos con una letra repetida tres veces y otra dos (ejemplo: $AABAB$).
(f) Número de ellos con una letra repetida cuatro veces.
(g) Número de ellos con una letra repetida cinco veces.
(h) Número de los que no estén comprendidos entre los apartados (b) a (g).

Ejercicio 1.22: Obtén el número de diagonales que se pueden trazar en un cuadrado, en un hexágono y en un polígono de $n$ lados. ¿Existe algún polígono tal que el número de lado coincida con el número de diagonales?

Ejercicio 1.23: En un puesto de mando, para transmitir señales, hay en línea recta cuatro astas. En cada asta solamente se puede colocar una bandera. Las señales consisten en colocar banderas de distintos colores en dichas astas. Según el número de banderas colocadas, colores de las mismas y lugar que ocupen, la señal será distinta. Halla el número de señales que se pueden transmitir si se posee un juego de siete banderas con los colores del arco iris.

Ejercicio 1.24: (Comunidad Valenciana (2019), variación) La lotería primitiva consta de $49$ números. El día del sorteo se eligen $7$ distintos: los $6$ que forman la combinación ganadora y el complementario. En un boleto se pueden marcar $r$ de los $49$ números.

(a) Marcando $6$ números, ¿cuál es la probabilidad de acertar la combinación ganadora?
(b) Marcando $6$ números, ¿cuál es la probabilidad de acertar $5$? Realiza la discusión en función del complementario.
(c) Halla la probabilidad de acertar $5$ números de la combinación ganadora en el caso que haya marcado $10$ de los $49$ posibles.

II. Principio del palomar

Ejercicio 2.1:

(a) Demuestra que, dadas $367$ personas, al menos dos de ellas cumplen años el mismo día.
(b) Dados veinte números naturales cualquiera, demuestra que hay al menos dos números cuya diferencia es un múltiplo de $19$.

Ejercicio 2.2: Demuestra que todo número entero $n$ tiene un múltiplo cuya expresión decimal está compuesta de ceros y unos.

Ejercicio 2.3: En clase, Ana ha dicho $600000$ palabras que tiene entre una y cuatro letras. Dado que el abecedario con el que se expresa posee $27$ letras, ¿ha repetido alguna palabra en su discurso?

Ejercicio 2.4: Demuestra que si repartimos $100$ naranjas en $14$ montones, necesariamente tiene que haber al menos dos montones con el mismo número de naranjas.

Ejercicio 2.5: Para escribir un libro hemos usado $1890$ cifras para numerar las páginas. ¿Cuántas páginas tiene el libro?

Ejercicio 2.6: ¿Es posible disponer sobre una circunferencia los números $0,1,\ldots,9$ de tal manera que la suma de tres números sucesivos cualesquiera sea, como mucho,

(a) $13$?
(b) $14$?
(c) $15$?

III. Principio de inclusión-exclusión

Ejercicio 3.1:

(a) ¿Cuántos enteros entre $1$ y $1000$, ambos inclusive, son múltiplos de $2$ o de $5$?
(b) ¿Cuántos enteros entre $1$ y $1000$, ambos inclusive, son primos con $1000$?
(c) ¿Cuántos enteros entre $1$ y $600$, ambos inclusive, no son divisibles por $3$ ni por $5$ ni por $7$?

Ejercicio 3.2: Entre los números del $1$ al $2000$, halla los que son divisibles por $9$, $11$, $13$ o $15$.

Ejercicio 3.3: Un desarreglo es una permutación de objetos en la que ningún objeto está en su posición original. Por ejemplo, $234561$ es una permutación de $123456$, pero $213645$ no, ya que $3$ está en su posición original.

(a) Escribe los desarreglos de $123$.
(b) Demuestra que, dados $n$ objetos, el total de desarreglos asciende a

$$ D_n = n!\left(1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \cdots + (-1)^n\cdot\frac{1}{n!}\right). $$

Ejercicio 3.4: En una fiesta, a la que acuden seis chicos y seis chicas, comienza a sonar la primera canción.

(a) ¿De cuántas formas pueden organizarse para bailar todos ellos por parejas? Asume que cada pareja está formada por un chico y una chica.
(b) Como ninguna de las chicas ha quedado contenta con el desempeño en el baile de su pareja, de cara a la segunda canción, ¿de cuántas maneras pueden organizarse para bailar por parejas de forma que no repitan con la anterior?

IV. Estrategia de barras y estrellas

Ejercicio 4.1: Se venden $4$ tipos diferentes de galletas en una tienda. Asumiendo que solo se tiene en cuenta el tipo de galleta y que el orden en que se seleccionan no importa, ¿de cuántas formas se pueden seleccionar $6$ galletas?

Ejercicio 4.2: ¿De cuántas formas pueden distribuirse $12$ libros de idénticos de matemáticas discretas entre cuatro estudiantes?

Ejercicio 4.3: ¿De cuántas maneras se pueden poner $9$ como suma de $3$ sumandos enteros positivos?

Ejercicio 4.4: ¿De cuántas maneras se puede escribir $100$ como suma de $4$ sumandos positivos?

Ejercicio 4.5: Halla el número de soluciones enteras de

(a) $x_1+x_2+\cdots+x_8=24$, con $x_i\geq 0$, para $i\in{1,2,\ldots,8}$.
(b) $x_1+x_2+\cdots+x_8=24$, con $x_i\geq 2$, para $i\in{1,2,\ldots,8}$.
(c) $x+y+z+t = 100$, con $x\geq 30$, $y>21$, $z\geq 1$ y $t\geq 1$.
(d) $x+y+z+t\leq 2001$, con $x\geq0$, $y\geq 0$, $z\geq 0$ y $t\geq 0$.

Ejercicio 4.6: En una heladería se sirven $7$ tipos de helados.

(a) ¿De cuántas formas distintas se pueden elegir $12$ helados?
(b) ¿De cuántas maneras se pueden elegir $12$ helados si tiene que haber al menos uno de cada tipo?

Ejercicio 4.7:

(a) En una tienda de material informático tienen monitores de $4$ marcas diferentes. ¿De cuántas maneras podemos escoger $6$ monitores?
(b) Queremos repartir $k$ objetos iguales entre los $n$ alumnos que aparecen en una lista. ¿De cuántas maneras podemos hacerlo si queremos que el primer alumno de la lista reciba, como mínimo, $4$ objetos? ¿Y si debe recibir exactamente $4$ objetos?

Ejercicio 4.8: Halla el número de soluciones enteras de la ecuación $x+y+z+t=100$, con $1\leq x\leq 10$, $y\geq 0$, $z\geq 2$ y $20\leq t\leq 30$.

Ejercicio 4.9: ¿De cuántas maneras podemos sumar $13$ al lanzar $3$ dados?

Ejercicio 4.10: Halla cuántos números de cuatro cifras existen cuya suma de sus cifras ascienda a $27$.

Ejercicio 4.11: Suben dos mujeres y tres hombres a un ascensor en la planta baja de un edificio de seis pisos. Averigua de cuántas maneras se pueden bajar del ascensor, sabiendo que, en un mismo piso, no pueden bajar personas de distinto sexo.

Ejercicio 4.12: ¿Cuántos términos tiene la expansión de $(x_1+x_2+\cdots+x_s)^n$?

V. Números binomiales

Ejercicio 5.1: Calcula

$$ \binom{-2}{3}. $$

Ejercicio 5.2:

(a) Calcula, para cada número natural $k$,

$$ \binom{-1}{k}. $$

(b) Demuestra que, para cada número natural $n$,

$$ \binom{-\frac{1}{2}}{n} = \binom{2n}{n}\cdot\left(-\frac{1}{4}\right)^n. $$

VI. Rutas equiprobables

Ejercicio 6.1: ¿Cuántas rutas existen, desde la esquina inferior izquierda de una cuadrícula $n\times n$ a la esquina superior derecha, si los viajes se restringen solo a pasos de longitud unitaria a la derecha o hacia arriba?

Ejercicio 6.2: Dada una cuadrícula $n\times n$, sobre la que nos podemos desplazar con pasos unitarios hacia la derecha o hacia arriba, se dice que una ruta es ‘‘buena’’ si va por debajo de la diagonal y la toca.

(a) ¿Cuántas rutas ‘‘buenas’’ hay?
(b) Escogida una ruta al azar de la cuadrícula, ¿cuál es la probabilidad de que sea ‘‘buena’’?

Ejercicio 6.3: Sea el plano $E$ cuadriculado por las rectas $x=m$ e $y=n$, con $m$ y $n$ números enteros. El punto $P(m,n)$ es un nudo de la cuadrícula. Una sucesión de nudos se llama trayectoria. Se consideran las trayectorias ascendentes $T_a$ en las que se pasa de un nudo al siguiente por la traslación $u$ o por la traslación $v$, donde $(O,u,v)$ es un sistema ortogonal. La longitud de una trayectoria es el número de traslaciones $u$ o $v$ que tiene.

(a) Determina el número $T_a(O,P)$ que van del origen $O$ al punto $P(m,n)$ ($m\geq0, n\geq0$) y el número de trayectorias $T’_a(P’,P)$ que van del punto $P’(m’,n’)$ al punto $P(m,n)$ con $m’\leq m$ y $n’\leq n$.
(b) Calcula el número de trayectorias de longitud $h$, $T_a$, que parten del origen.
(c) Sea $P(m,n)$, con $m>n$. Calcula el número $T_{a_1}(O,P)$ de trayectorias que van de $O$ a $P$ por debajo de la diagonal $y=x$.
(d) Sea $P(n,n)$. Halla el número de trayectorias $T_{a_2}(O,P)$ que van de $O$ a $P$ por encima o por debajo de la diagonal principal sin tocarla más que en los puntos $O$ y $P$.
(e) Se lanza una moneda $2n$ veces, ¿cuál es la probabilidad de obtener $n$ caras y $n$ cruces? Se supone que la igualdad no se alcanza antes del último lanzamiento.

Ejercicio 6.4: En la cola del cine hay $2n$ personas que deben comprar una entrada de $5$ euros. Hay $n$ personas que tienen un billete de $5$ euros y hay $n$ personas que tienen un billete de $10$ euros. Si la persona que está en caja no dispone de cambio al principio, determina la probabilidad de que ningún cliente tenga que esperar para recibir la vuelta.

Ejercicio 6.5: Un grupo de $n+m$ personas se alinean frente a las taquillas de un teatro para comprar una entrada cuyo precio es de $50$ euros. De entre ellas, $m$ poseen un billete de $50$ euros, mientras que $n$ poseen un billete de $100$ euros ($m\geq n$). Al abrir la taquilla, el cajero no tiene cambio. ¿Cuál es la probabilidad de que estas personas se alineen de manera que el cajero siempre tenga cambio?

Ejercicio 6.6: Dos candidatos $A$ y $B$ se presentan a una elección. Si $A$ recibe $a$ votos y $B$ recibe $b$ votos, con $a>b$,

(a) ¿cuál es la probabilidad de que, en todo momento del escrutinio, $A$ vaya por delante de $B$?
(b) ¿Cuál es la probabilidad de que, a lo largo del escrutinio, la diferencia de votos a favor de $A$ no haya sido mayor que $a-b$?

Ejercicio 6.7: Se sabe que una elección, para la cual hay dos candidatos $A$ y $B$, ha terminado con el resultado de $9$ votos a favor de $A$ y $6$ a favor de $B$. Calcula:

(a) la probabilidad de que, durante el escrutinio de los votos, siempre haya ido por delante el candidato $A$.
(b) la probabilidad de que, a lo largo del escrutinio, la diferencia entre los dos candidatos no haya sido superior a $3$.

Ejercicio 6.8: En una cuadrícula de tamaño $8\times 8$ hay dos hormigas, $A$ y $B$, ubicadas en las esquinas opuestas. La hormiga $A$ (situada en la esquina inferior izquierda) se mueve en pasos de longitud unitaria hacia la derecha o hacia arriba, mientras que la hormiga $B$ hace lo propio hacia la izquierda o hacia abajo. ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentren? Asume que ambas caminan a la misma velocidad y empiezan a hacerlo simultáneamente.

Ejercicio 6.9: Un avión, de una determinada compañía, debe realizar un viaje entre dos ciudades, con un total de $m+n$ escalas, donde $m$ y $n$ son números naturales. En cada escala el avión ha de cargar o descargar una tonelada de cierta mercancía, realizando cargas en $m$ de las escalas y descargas en las $n$ restantes.

No obstante, en la compañía nadie ha reparado en que el avión no soporta una carga mayor de $k$ toneladas, con $k$ número natural entre $n$ y $m+n$, y las escalas de carga y descarga se reparten al azar.

Si el avión sale con $n$ toneladas de mercancía, calcula la probabilidad de que llegue a su destino.

Ejercicio 6.9: La Rana Gustavo, ‘‘el reportero más dicharachero’’, se encuentra en su hogar (muy coqueto este y ubicado, por cierto, en el origen de coordenadas, $(0,0)$, de una cuadrícula plana) disfrutando de su serie favorita. De repente, recibe una notificación en su móvil: ha de acudir, ipso facto, a cubrir una importante noticia que ha tenido lugar en la panadería de Barrio Sésamo, que se halla, según el GPS, en el punto de la cuadrícula de coordenadas $(5,5)$.

Por ciertos problemas acotencidos durante la última retransmisión, la Rana Gustavo únicamente puede desplazarse mediante saltos de longitud unitaria bien hacia la derecha, bien hacia arriba.

(a) Calcula el número total de rutas existentes entre su casa y la panadería de Barrio Sésamo.
(b) En el punto de la cuadrícula de coordenadas $(2,2)$, está plácidamente Espinete tomando el sol. La Rana Gustavo no quiere entretenerse hablando con él, pues tiene mucha prisa por cubrir la noticia, ¿de cuántas maneras puede llegar a la panadería sin pasar por donde está Espinete?
(c) Resulta, además, que Coco está esperando, en el punto de la cuadrícula de coordenadas $(3,3)$, a la primera persona que pase por allí para jugar una partida de ajedrez. Como la Rana Gustavo no está por la labor de tales entretenimientos, ¿de cuántas formas puede llegar a la panadería sin pasar por donde está Espinete ni por donde está Coco?

Ejercicio 6.10: Un jugador lanza una moneda. Si sale cara obtiene un punto positivo y si saca cruz un punto negativo. Supuesto que de entrada se le da un punto positivo y perderá cuando alcance una puntuación nula, calcula la probabilidad de perder:

(a) antes del lanzamiento $12$.
(b) en el lanzamiento $17$.

Última actualización el 2020-03-01