Números complejos
Problemas de nivel inicial
Ejercicio 1.1: Halla el conjunto de puntos de la variable compleja $z$ tal que $RE(z^2) > 2$.
Ejercicio 1.2: Halla la curva definida por
$$ RE\left(\frac{1}{z}\right) = \frac{1}{4}. $$
Ejercicio 1.3: Calcula $\sqrt{-15-8i}$.
Ejercicio 1.4: Resuelve $z^2 + (2i - 3)z + 5-i = 0$.
Ejercicio 1.5: Halla las raíces quintas de la unidad.
Ejercicio 1.6: Sean $r_i$, con $i=1,\ldots,5$, las raíces quintas de la unidad. Halla el valor de
$$ A = r_1^n + r_2^n + r_3^n + r_4^n + r_5^n. $$
Ejercicio 1.7: Calcula $(1+\sqrt{3}i)^n + (1-\sqrt{3}i)^n$.
Ejercicio 1.8: Sea
$$ z = \left(\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\right)^n + \left(\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}\right)^n. $$
Prueba que $z=2$ si $n$ es múltiplo de $3$ y $z=-1$ en cualquier otro caso.
Ejercicio 1.9: Escribe en forma binómica $e^{\sqrt{i}}$.
Ejercicio 1.10: Si
$$ z + \frac{1}{z} = 2\cos{t}, $$
calcula
$$ z^n + \frac{1}{z^n}. $$
II. Problemas de nivel intermedio
Ejercicio 2.1: Halla un número complejo que cumpla $z^5 = \overline{z}$.
Ejercicio 2.2: Calcula $3^i$.
Ejercicio 2.3: Calcula $\log_{1 + i}{(8 - 8i)}$.
Ejercicio 2.4: Resuelve
- (a) $\cos{(z)} = 2$.
- (b) $\sin{(z)} = 4$.
Ejercicio 2.5: Resuelve $\cosh^2{(z)} - 3\sinh{(z)} + 1 = 0$.
Ejercicio 2.6: Dados los puntos $A(1, 2)$ y $B(3,3)$, determina, como número complejo en forma binómica, los vértices de un triángulo equilátero con centro $A$, sabiendo que $B$ es uno de sus vértices.
Ejercicio 2.7: Determine los vértices de un cuadrado sabiendo que
- (a) Su centro es el punto $(2, 3)$.
- (b) Si se traslada el centro al origen, se gira un ángulo de $60$ grados, en sentido positivo, y se reducen los lados del cuadrado a la mitad; los vértices del nuevo cuadrado son los afijos de las raíces de un polinomio de grado cuatro, con coeficientes reales, que tiene la raíz $x = 1$.
Ejercicio 2.8: Los afijos $z_1, z_2, z_3, z_4, z_5$ y $z_6$ son los vértices consecutivos de un hexágono regular. Sabiendo que $z_1 = 0$ y que $z_4 = 4 + 6i$, halla $z_2, z_3, z_5$ y $z_6$.
Ejercicio 2.9: Dados tres complejos $z_1, z_2$ y $z_3$, demuestra que si forman un triángulo equilátero, se cumple que
$$ z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 = z_1z_2 + z_1z_3 + z_2z_3. $$
Ejercicio 2.10: Siendo $a$ un número complejo fijo, determina (en función de $a$) los posibles números complejos $z$, tales que las imágenes en el plano complejo de los afijos $a^2z, az^2$ y $z^3$ son vértices de un triángulo equilátero.
Ejercicio 2.11: Calcula
- (a) $\prod_{k=1}^{n-1}{\left(e^{\frac{2k\pi i}{n}} - 1\right)}$.
- (b) $\prod_{k=1}^{n-1}{\sin{\left(\frac{k\pi}{n}\right)}}$.
Ejercicio 2.12: Dado un número real $a$ y un número natural $n$, calcula
$$ \cos{(a)} + \cos{(2a)} + \cos{(3a)} + \cdots + \cos{(na)}. $$
Ejercicio 2.13: Calcula
$$ \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{\cos{(n\alpha)}}{2^n}}. $$