Polinomios

I. Problemas de nivel inicial

Ejercicio 1.1: Dado el polinomio $P(x) = x^3 + 3x^2 - 7x + 1$, calcula $\sum_{i=1}^{3}{x_i^2}$, donde $x_i$, con $i=1,2,3$, son las raíces de dicho polinomio.

Ejercicio 1.2: Calcula el resto de dividir $x^{100} - 2x^{51} + 1$ entre $x^2-1$.

Ejercicio 1.3: Determina $a$ y $b$ para que $(x-1)^2$ divida a $ax^4 + bx^3 + 1$.

Ejercicio 1.4: Encuentra $a$ tal que $x=-1$ sea raíz múltiple de $x^5 - ax^2 - ax + 1$.

Ejercicio 1.5: Halla los valores de $p$ y $q$ para que las ecuaciones

$$ \begin{aligned} x^3 - 6x^2 + px - 3 &= 0,\\ x^3 - x^2 + qx + 2 &=0, \end{aligned} $$

tengan dos raíces comunes.

Ejercicio 1.6: Resuelve $2x^3 - 9x^2 + 32x + 75 = 0$, sabiendo que admite una raíz compleja de módulo $|z| = 5$.

Ejercicio 1.7: Resuelve la ecuación $x^4 + 2x^3 + x^2 + 8x - 12 = 0$, sabiendo que tiene una raíz imaginaria pura.

Ejercicio 1.8: Calcula $q$ para que las cuatro raíces de la ecuación $z^4 + 6z^3 - 7z^2 - 36z + q = 0$ formen una proporción.

Ejercicio 1.9: Sea la ecuación $x^3 - 7x + \theta = 0$.

• (a) Halla $\theta$ para que una raíz sea el doble de la otra.
• (b) Resuelve la ecuación.

Ejercicio 1.10: Un polinomio es tal que al dividirlo por $x+1$ y por $x-1$ da de resto $6$ y $2$, respectivamente. Además, es divisible por $x^2+1$.

• (a) Halla el resto al dividirlo por $x^4-1$.
• (b) Halla el polinomio de grado cinco que lo verifica y tal que, al dividirlo por $x^4-1$, los coeficientes de los términos de primer grado e independiente sean $3$ y $4$.

Ejercicio 1.11: Un polinomio $P(x)$ dividido por $x-1$ da de resto $-8$; dividido por $x+2$ da de resto $25$, ¿qué resto dará al dividirlo por $x^2 + x - 2$? Halla $P(x)$ sabiendo que es de tercer grado y divisible por $x^2 - 9$.

II. Problemas de nivel intermedio

Ejercicio 2.1: Dada la ecuación $x^7 - 4x^6 + 8x^2 - 1 = 0$, encuentra la suma de los inversos de los cuadrados de las raíces.

Ejercicio 2.2: Sea $P(x) = x^4 - 4x^3 + x^2 + 6x + n$.

• (a) Halla $Q_i(x)$ de manera que $P(x) = Q_i(x)^2 + mQ_i(x) + n$.
• (b) Calcula $n$ tal que si $R(x) = \sum{Q_i^2(x)}$, entonces $R(x)$ tiene un máximo relativo en $x = n / 2$.
• (c) Para ese valor, halla las raíces de $P(x)$.

Ejercicio 2.3: Halla las raíces de la ecuación $x^4 + 3x^3 - 30x^2 + 366x - 340 = 0$, sabiendo que una raíz es $3 + 5i$.

Ejercicio 2.4: Determina $a$ y $b$ para que las raíces del polinomio $P(x) = x^4 - 8x^3 + 14x^2 + ax + b$ estén en progresión aritmética. Halla dichas raíces.

Ejercicio 2.5: En $\mathbb{Z}_7$, halla $c$ y $d$ para que el polinomio $x^4 + 3x^3 + 5x^2 + cx + d$ sea un cuadrado perfecto. Indica de qué polinomio es cuadrado.

Ejercicio 2.6: Halla la relación entre $p$ y $q$, de $\mathbb{R}$, para que los afijos de las raíces de la ecuación $x^3 + px + q = 0$ sean los vértices de un triángulo rectángulo isósceles.

Ejercicio 2.7: Halla el resto de la división del polinomio $P(x)$ por $(x^2 + 1)(x + 1)$ si al dividir $P(x)$ por $x^2+1$ el resto es $2x + 3$ y al dividirlo por $x+1$ el resto es $4$.

Ejercicio 2.8: Halla el resto de la división dada por $(\cosh{(a)} + x\sinh{(a)})^n$ entre $x^2 - 1$.

Ejercicio 2.9: Un polinomio $P(x)$ dividido por $x + 1$ da de resto $-45$ y dividido por $x-3$ da de resto $-165$.

• (a) Calcula el resto de $P(x)$ al dividirlo por $x^2 - 2x - 3$.
• (b) Halla $P(x)$ sabiendo que es de grado cuatro y divisible por $x(x^2 - 4)$.
• (c) Halla las raíces de $P(x) = 0$.