Ecuaciones diofánticas

I. Dos variables

Ejercicio 1.1:

(a) ¿Se puede llenar un depósito de $25$ litros, de manera exacta, con garrafas de $6$ y $8$ litros?
(b) Halla las soluciones enteras de la ecuación $14x + 21y = 777$.

Ejercicio 1.2: Halla las soluciones enteras de la ecuación $79x + 23y = 5$.

Ejercicio 1.3: Halla las soluciones enteras de la ecuación $14x + 10y = 4$.

Ejercicio 1.4: Halla las soluciones enteras de la ecuación $16x + 26y = 14$.

Ejercicio 1.5: Halla las soluciones enteras de la ecuación $525x + 100y = 50$.

Ejercicio 1.6: Halla las soluciones enteras de la ecuación $1027x + 712y = 1$.

Ejercicio 1.7: Estudia cuál de estas ecuaciones diofánticas tiene solución y, en caso afirmativo, calcúlala:

(a) $25x + 36y = 10$.
(b) $200x + 1768y = 8$.
(c) $40x + 50y = 3$.
(d) $213x + 1123y = 18$.
(e) $14x + 165y = 1$.

Ejercicio 1.8: Halla la expresión general de las raíces enteras de la ecuación $37x - 13y = 8$.

Ejercicio 1.9: Halla las soluciones enteras de la ecuación $109x + 89y = 1$ utilizando el algoritmo de Euclides.

Ejercicio 1.10: Encuentra todas las soluciones positivas de

$$ \frac{a}{13} + \frac{b}{19} = \frac{230}{247}. $$

Ejercicio 1.11: Encuentra el inverso de $7$ en $\mathbb{Z}_{31}$.

Ejercicio 1.12: Encuentra el inverso de $46$ en $\mathbb{Z}_{53}$.

Ejercicio 1.13: Encuentra el inverso de $37$ en $\mathbb{Z}_{62}$.

Ejercicio 1.14: Sea $c$ un número entero positivo tal que $10\leq c\leq 100$. ¿Cuál es el valor mínimo de $c$ para el cual la ecuación $84x + 990y = c$ admite soluciones enteras?

Ejercicio 1.15: Halla el menor número natural $m$ de manera que la ecuación $533x + 299y = 20000 + m$ tenga soluciones enteras y calcúlalas.

Ejercicio 1.16: Halla

(a) el menor entero positivo $a$ tal que la ecuación $1001x + 770y = 10^6 + a$ admite soluciones naturales.
(b) para dicho valor de $a$, determina las soluciones naturales de dicha ecuación.

Ejercicio 1.17: Se dispone de un gran suministro de agua, un gran cubo con desagüe y dos garrafas que contienen $7$ y $9$ litros. ¿Cómo podría ponerse un litro de agua en el cubo?

Ejercicio 1.18: Los precios de dos productos son $18$ y $33$ euros por unidad. ¿Cuál es el número mínimo y máximo de unidades que se pueden haber vendido si se han cobrado $639$ euros?

Ejercicio 1.19: Un sastre invierte $13$ horas en diseñar un pantalón y $37$ horas en diseñar un modelo de camisa. Si trabaja $2000$ horas, ¿cuántas camisas y pantalones debería diseñar para conseguir la mejor combinación entre pantalones y camisas?

Ejercicio 1.20: Un hombre compra caballos y vacas, pagando $1770$ euros. Una vaca cuesta $21$ euros y un caballo $31$ euros, ¿cuántos caballos y vacas ha comprado?

Ejercicio 1.21: Para abonar una factura de $1840$ pesetas, se entregan libras esterlinas y dan la vuelta en marcos. Calcula las libras esterlinas entregadas y los marcos devueltos, suponiendo que se ha entregado la cantidad mínima de libras necesarias para pagar y que la devolución sea en marcos ($1$ marco $=70$ pesetas, $1$ libra esterlina $=180$ pesetas).

Ejercicio 1.22: Se compran manzanas y naranjas. En total, $12$ piezas de fruta, que cuestan $1.32$ euros. Si una manzana vale $3$ céntimos más que una naranja y hay más manzanas que naranjas, ¿cuántas piezas de cada fruta se han comprado?

Ejercicio 1.23: Una persona va a un supermercado y compra $12$ litros de leche, unos de leche entera y otros de desnatada, por $1200$ pesetas. Si la leche entera vale $30$ pesetas más por litro que la desnatada y ha comprado el mínimo posible de leche desnatada, ¿cuántos litros habrá comprado de cada una?

Ejercicio 1.24: Una mujer compra $12$ vestidos, unos rojos y otros blancos, gastándose $1200$ euros. Si los trajes rojos valen $30$ euros más que los blancos, ¿cuántos vestidos ha comprado de cada color?

Ejercicio 1.25: En un corral hay conejos y gallinas, contándose $22$ patas. ¿Cuántas gallinas y conejos hay?

Ejercicio 1.26: Los lados de un rectángulo vienen dados por números naturales. ¿Cuál será la longitud de dichos lados para que el perímetro y la superficie de dicha figura se expresen con el mismo número?

Ejercicio 1.27: Determina las dimensiones de un rectángulo sabiendo que sus lados miden un número entero de centímetros, pero no un número entero de palmos; y que su área, expresada en palmos cuadrados, es igual a su perímetro, expresado en palmos lineales. Considera que un palmo equivale a $20$ centímetros.

Ejercicio 1.28: (Extremadura (2018)) En su último viaje a Estados Unidos, el señor Martínez cambió un cheque de viaje. El cajero, al pagarle, confundió el número de dólares con el de centavos y viceversa. El señor Martínez gastó $68$ centavos en sellos y comprobó que el dinero que le quedaba era el doble del importe del cheque de viaje que había cambiado. ¿Qué valor mínimo tenía el cheque de viaje?

Ejercicio 1.29: (Galicia (2018)) Una persona ha comprado entradas para el cine para personas adultas por un precio de $640$ u. m. cada una y para menores de edad a $330$ u. m. Sabiendo que invirtió $7140$ u. m. y que compró menos entradas de adultos que de menores, halla el número de entradas que adquirió.

Ejercicio 1.30: Halla todos los números naturales menores que $1000$ que sean múltiplos de $28$ y que, divididos por $15$, den de resto $9$.

Ejercicio 1.31: Halla un número de seis cifras que es igual a las seis últimas cifras de su cuadrado.

Ejercicio 1.32: Halla las soluciones enteras de la ecuación

$$ \sqrt{(x+y)(x-y) + (2x+2y-3)y - 2(x-7)} = x+y+3. $$

II. Tres o más variables

Ejercicio 2.1: Halla las soluciones enteras de las ecuaciones diofánticas

(a) $6x + 8y + 14z = 22$.
(b) $6x + 10y + 15z = 31$.

Ejercicio 2.2: Encuentra todas las soluciones enteras positivas de la ecuación $43x + 7y + 17z = 400$.

Ejercicio 2.3: Un granjero compró vacas, cerdos y pollos. En total, $100$ animales por $100$ euros. Hay al menos uno de cada. Si una vaca cuesta $10$ euros, un cerdo $3$ euros y un pollo $0.50$ euros, ¿cuántos animales de cada clase compró?

Ejercicio 2.4: En una tienda de animales los loros cuestan $5$ euros, los periquitos $3$ euros cada uno y los canarios $10$ céntimos cada uno. Compramos $100$ animales y pagamos $100$ euros. ¿Cuántos compramos de cada clase?

Ejercicio 2.5: Resuelve, en los números naturales, el siguiente sistema, demostrando que tiene una única solución:

$$ \begin{aligned} x + y + z + p + t &= 25,\\ y - 2z - p &= 0,\\ x - t &= 1,\\ -x + y + z &= 0. \end{aligned} $$

III. Cuadráticas

Ejercicio 3.1: Halla las soluciones naturales de las ecuaciones

(a) $x^2 - y^2 = 46$.
(b) $x^2 - y^2 = 36$.

Ejercicio 3.2: Halla las soluciones enteras de la ecuación $x^2 - y^2 = 8$.

Ejercicio 3.3: Halla las soluciones enteras de la ecuación $x^2 - y^2 = 24$.

Ejercicio 3.4: Encuentra todas las soluciones naturales de la ecuación $x^2 - y^2 = 252$.

Ejercicio 3.5: Halla soluciones enteras no triviales para la ecuación $x^2 - 7y^2 = 1$.

Ejercicio 3.6: Halla soluciones enteras no triviales para la ecuación $x^2 - 3y^2 = 1$.

Ejercicio 3.7: Halla las soluciones enteras no triviales para la ecuación $x^2 - 15y^2 = 1$.

Ejercicio 3.8: Prueba que $3$, $4$ y $5$ es la única solución de $x^2 + y^2 = z^2$ en enteros positivos consecutivos.

Ejercicio 3.9: Halla dos números enteros tales que la suma de sus cuadrados es el doble de su suma.

Ejercicio 3.10: ¿Qué cuadrado de cinco cifras, al quitarle una unidad, se puede descomponer en suma de cinco cuadrados idénticos?

Ejercicio 3.11: Halla los números naturales $n$ de manera que se cumpla que $1+2+\cdots+n = k^2$, con $k$ número natural.

Ejercicio 3.12: ¿Cuál es el menor triángulo cuyos lados son números enteros consecutivos y su área es múltiplo de $20$?

Ejercicio 3.13: Halla todos los triángulos cuyos lados son tres números enteros consecutivos y su área es asimismo un número entero.

Ejercicio 3.14: Prueba que existen cuadrados de la forma $1 + 2 ^ {x^2} + 2 ^ {y^2}$.

Ejercicio 3.15: Sean $a$, $b$ y $c$ números naturales distintos.

(a) Halla un conjunto infinito de soluciones de la ecuación $a^2 + b^2 + c^2 = 2c(a + b)$.
(b) Demuestra que, si $a<b<c$, la ecuación $a^3 - c^3 + b^3 = 3b(a - c)(a + c - b)$ no tiene solución.

Ejercicio 3.16: Encuentra un número natural $n$ tal que $n^2 + 10n$ es cuadrado perfecto.

IV. Polinómicas

Ejercicio 4.1: Halla las soluciones enteras de las ecuaciones diofánticas:

(a) $2x^2 + x - 3y = 7$.
(b) $x^2 + x + 2y = 3$.
(c) $x^2 + x + 3y = 2$.

Última actualización el 2020-03-01