2019, año de las torres de potencias

Problema 44

Fotografía de asoggetti, disponible en Unsplash.

Problema 44: Encuentra los dos últimos dígitos de

$$ 2017^{2018^{2019}} + 2018^{2019^{2020}} + 2019^{2020^{2021}} $$


Para encontrar las dos últimas cifras de la operación indicada en el enunciado del ejercicio, un posible enfoque pasa por trabajar con el valor de las congruencias módulo $100$. Estudiemos el valor de dichas congruencias para cada uno de los tres sumandos por separado.

En primer lugar, es cierto que

$$ 2017^{2018^{2019}} \equiv 17^{2018^{2019}} \pmod{100}. $$

Ahora, como $mcd(17,100) = 1$, por el Teorema de Euler-Fermat, sabemos que

$$ 17^{\varphi(100)} \equiv 1\pmod{100}, $$

y como $100 = 2^2 \cdot 5^2$,

$$ \varphi(100) = 100\cdot\left(1-\dfrac{1}{2}\right)\cdot\left(1-\dfrac{1}{5}\right) = 40, $$

esto es, $17^{40} \equiv 1\pmod{100}$. Estudiemos pues el valor de la congruencia módulo $40$ para el exponente, $2018^{2019}$. Por el Teorema chino del resto, la ecuación de congruencia lineal $x\equiv 2018^{2019} \pmod{40}$ es equivalente al sistema de ecuaciones de congruencia lineales

$$ \begin{aligned} x&\equiv 2018^{2019} \pmod{5},\\ x&\equiv 2018^{2019} \pmod{8}, \end{aligned} $$

ya que $mcd(5,8)=1$ y $5\cdot8 = 40$. No obstante,

$$ 2018^{2019} \equiv 3^{2019}\pmod{5}, $$

y como $5$ es un número primo y $mcd(3,5) = 1$, por el Pequeño Teorema de Fermat, $3^4 \equiv 1\pmod{5}$. Como $2019 = 4\cdot 504 + 3$, es cierto que

$$ 3^{2019} = 3^3\cdot (3^4)^{504} \equiv (3^3 \cdot 1^{504}) \pmod{5} \equiv 2\pmod{5}. $$

Por otro lado, $2018 = 2\cdot1009$, por lo que,

$$ \begin{aligned} 2018^{2019} &= (2\cdot1009)^{2019} \\ &= 2^{2019} \cdot 1009^{2019} \\ &= 2^3 \cdot 2^{2016} \cdot 1009^{2019} \\ &= 8 \cdot 2^{2016} \cdot 1009^{2019}, \end{aligned} $$

y así, podemos concluir que $2018^{2019} \equiv 0\pmod{8}$. Por consiguiente, el sistema de ecuaciones de congruencia lineales planteado arriba es equivalente a

$$ \begin{aligned} x&\equiv 2\pmod{5},\\ x&\equiv 0\pmod{8}. \end{aligned} $$

Este último podemos resolverlo, de forma mecánica, con el procedimiento habitual que nos proporciona el Teorema chino del resto o razonando sin más. Buscamos aquí un múltiplo de $8$ (menor que $40$) que al dividirlo entre $5$ devuelva un resto de valor $2$. Tras unos rápidos cálculos mentales, encontramos que el número $32$ satisface las restricciones impuestas y, por tanto, la solución al sistema planteado arriba es $x\equiv 32\pmod{40}$. Con todo, hemos llegado a que

$$ 2017^{2018^{2019}} \equiv 17^{2018^{2019}} \pmod{100}\equiv 17^{32} \pmod{100}. $$

Ahora bien, $17^{32} = ( 17^2 )^{16} = 189^{16} \equiv 89^{16} \pmod{100}$. Aplicando esta forma de proceder de manera recurrente, podemos reducir, en unos pocos pasos, $17^{32}$ a un número para el que el cálculo de su congruencia módulo $100$ sea razonable. Así,

$$ \begin{aligned} 17^{32} &\equiv 89^{16} \pmod{100} \\ &\equiv (-11)^{16} \pmod{100} \\ &\equiv 11^{16} \pmod{100} \\ &\equiv 21^8 \pmod{100}\\ &\equiv 41^4 \pmod{100} \\ &\equiv 81^2 \pmod{100} \\ &\equiv 61\pmod{100}, \end{aligned} $$

esto es,

$$ 2017^{2018^{2019}} \equiv 61\pmod{100}. $$

Para el segundo sumando, utilizaremos el Teorema chino del resto desde el principio. Así, la ecuación de congruencia lineal

$$ x\equiv 2018^{2019^{2020}} \pmod{100} $$

es equivalente al sistema de ecuaciones de congruencia lineales

$$ \begin{aligned} x&\equiv 2018^{2019^{2020}} \pmod{4},\\ x&\equiv 2018^{2019^{2020}} \pmod{25}, \end{aligned} $$

puesto que $mcd(4,25)=1$ y $4\cdot25=100$. Ahora bien, por lo que respecta a la primera de ellas,

$$ 2018^{2019^{2020}} \equiv 0\pmod{4}, $$

pues $2018 = 2\cdot1009$ y, gracias a ese dos que figura en la descomposición en factores primos de $2018$, operando adecuadamente con las propiedades de los exponentes (de una forma similar a como actuamos en el caso anterior) es fácil ver que la torre de potencias es múltiplo de cuatro. Por otro lado,

$$ 2018^{2019^{2020}} \equiv 18^{2019^{2020}} \pmod{25}, $$

y como $mcd(18,25)=1$ estamos en condiciones de volver a aplicar el Teorema de Euler-Fermat. Así,

$$ 18^{\varphi(25)}\equiv 1\pmod{25}, $$

y, dado que $25=5^2$, es cierto que

$$ \varphi(25) = 25\cdot\left(1-\dfrac{1}{5}\right) = 20. $$

Por consiguiente, únicamente nos resta explorar el valor de la congruencia módulo $20$ del exponente, $2019^{2020}$. Sin embargo,

$$ \begin{aligned} 2019^{2020} &\equiv (-1)^{2020} \pmod{20} \\ &\equiv 1^{2020}\pmod{20} \\ &\equiv 1\pmod{20}, \end{aligned} $$

y entonces

$$ 2018^{2019^{2020}} \equiv 18^{2019^{2020}} \pmod{25}\equiv 18\pmod{25}. $$

Por tanto, el sistema de ecuaciones de congruencia lineales planteado queda

$$ \begin{aligned} x&\equiv 0\pmod{4},\\ x&\equiv 18\pmod{25}. \end{aligned} $$

Este último podemos resolverlo, de forma mecánica, por el clásico procedimiento asociado al Teorema chino del resto o simplemente razonando sin más. En esta ocasión, buscamos un múltiplo de cuatro (menor que $100$), tal que al dividirlo por $25$ deje un resto que asciende a $18$. Tras unos rápidos cálculos mentales, deducimos que dicho valor es $68$, luego la solución al sistema de ecuaciones planteado es $x\equiv 68\pmod{100}$.

Finalmente, el modo de actuar con el tercer sumando es similar al llevado a cabo para el primero. Así,

$$ 2019^{2020^{2021}} \equiv 19^{2020^{2021}} \pmod{100}, $$

y como $mcd(19,100)=1$ sabemos, por el Teorema de Euler-Fermat, que $19^{\varphi(100)} = 19^{40} \equiv 1\pmod{100}$, por lo que únicamente nos resta averiguar el valor de la congruencia módulo $40$ de exponente, $2020^{2021}$. Para ello utilizaremos, de nuevo, el Teorema chino del resto, que nos garantiza que la ecuación de congruencia lineal

$$ x\equiv 2020^{2021} \pmod{40} $$

es equivalente al sistema de ecuaciones de congruencia lineales

$$ \begin{aligned} x&\equiv 2020^{2021} \pmod{5},\\ x&\equiv 2020^{2021} \pmod{8}, \end{aligned} $$

pues $mcd(5,8)=1$ y $5\cdot8=40$. Ahora bien, como $2020 = 2^2 \cdot5\cdot101$, el exponente es, directamente, múltiplo de $5$ y, por otra parte, operando adecuadamente con las propiedades de las potencias, deducimos rápidamente que asimismo será múltiplo de $8$, esto es, el sistema de ecuaciones de congruencia lineales queda

$$ \begin{aligned} x&\equiv 0\pmod{5},\\ x&\equiv 0\pmod{8}, \end{aligned} $$

y su solución, trivialmente, es $x\equiv 0\pmod{40}$. Por consiguiente,

$$ 2019^{2020^{2021}} \equiv 19^{2020^{2021}} \pmod{100}\equiv 1\pmod{100}. $$

Recapitulando,

$$ \begin{aligned} 2017^{2018^{2019}} &\equiv 61\pmod{100},\\ 2018^{2019^{2020}} &\equiv 68\pmod{100},\\ 2019^{2020^{2021}} &\equiv 1\pmod{100}, \end{aligned} $$

luego

$$ \begin{aligned} \left(2017^{2018^{2019}} + 2018^{2019^{2020}} + 2019^{2020^{2021}} \right)&\equiv (61+68+1)\pmod{100}\\ &\equiv 30\pmod{100}, \end{aligned} $$

es decir, las dos últimas cifras de la operación indicada en el enunciado del ejercicio son $30$.

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Alexis Sáez
Profesor de matemáticas

Cazador de problemas matemáticos en parajes opositores.

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