Fotografía de Lauren Pandolfi, disponible en Unsplash.
Problema 41: Los cometas 2p/Encke, 4P/Faye y 8p/Tuttle tienen períodos orbitales de $3$, $8$ y $13$ años, respectivamente. Los últimos perihelios (punto más cercano de la órbita de un cuerpo celeste alrededor del Sol) de cada uno de ellos fueron en $2017$, $2014$ y $2008$, respectivamente. ¿Cuál será el siguiente año en el cual coincidan sus perihelios? (Para este problema, asume que el tiempo se mide en años completos y que cada período orbital es constante.)
Sea $x$ el valor entero del siguiente año en el cual coinciden los perihelios. Como el cometa 2p/Encke tiene una órbita de la forma $2017+3t$, con $t$ un número entero, entonces $x\equiv 2017\pmod{3}$. Análogamente, dado el cometa 4p/Faye posee una órbita de la forma $2014+8u$, con $u$ número entero, entonces $x\equiv 2014\pmod{8}$. Finalmente, debido a que el cometa 8p/Tuttle tiene una órbita de la forma $2008+13v$, con $v$ número entero, entonces $x\equiv 2008\pmod{13}$.
Así pues, hemos de resolver el siguiente sistema de ecuaciones de congruencias lineales,
$$ \begin{aligned} x&\equiv 2017\pmod{3}\equiv 1\pmod{3},\\ x&\equiv 2014\pmod{8}\equiv 6\pmod{8}\\ x&\equiv 2008\pmod{13}\equiv 6\pmod{13}. \end{aligned} $$
Por la estructura que presenta el anterior sistema y dado que $m_1=3$, $m_2=8$ y $m_3=13$ son primos entre sí, sabemos, por el Teorema chino del resto, que dicho sistema admite solución módulo $M=3\cdot8\cdot13 = 312$. Procedamos entonces al cálculo de las soluciones utilizando el método habitual. Así,
$$ \begin{aligned} M_1 &= \dfrac{M}{m_1} = \dfrac{312}{3} = 8\cdot13 = 104,\\ M_2 &= \dfrac{M}{m_2} = \dfrac{312}{8} = 3\cdot13 = 39,\\ M_3 &= \dfrac{M}{m_3} = \dfrac{312}{13} = 3\cdot8 = 24, \end{aligned} $$
y, a continuación, resolvemos las siguientes ecuaciones de congruencia lineales:
$$ \begin{aligned} 104x\equiv 1\pmod{3}&\Leftrightarrow 2x\equiv 1\pmod{3}\\ &\Leftrightarrow x\equiv 2\pmod{3},\\ 39x\equiv 1\pmod{8}&\Leftrightarrow (-x)\equiv 1\pmod{8}\\ &\Leftrightarrow x\equiv (-1)\pmod{8},\\ 24x\equiv 1\pmod{13}&\Leftrightarrow (-2x)\equiv 1\pmod{13}\\ &\Leftrightarrow (-12x)\equiv 6\pmod{13}\\ &\Leftrightarrow x\equiv 6\pmod{13}. \end{aligned} $$
Agrupando ahora toda la información adecuadamente,
$$ \begin{aligned} x&\equiv 1\pmod{3},& 104x&\equiv 1\pmod{3},& x&\equiv 2\pmod{3},\\ x&\equiv 6\pmod{8},& 39x&\equiv 1\pmod{8},& x&\equiv (-1)\pmod{8},\\ x&\equiv 6\pmod{13},& 24x&\equiv 1\pmod{13},& x&\equiv 6\pmod{13}, \end{aligned} $$
entonces la solución es
$$ \begin{aligned} x &\equiv (1\cdot104\cdot2 + 6\cdot39\cdot(-1) + 6\cdot24\cdot1)\pmod{312}\\ &\equiv 838\pmod{312}\equiv 214\pmod{312}, \end{aligned} $$
esto es, en los años de la forma $214+316w$, con $w$ número entero, coinciden los tres perihelios. Para $w=5$, encontramos que el año $1794$ fue el último en el que coincidieron, mientras que si $w=6$, hallamos que $2086$ será el próximo año en el que coincidan.
