Sucesiones

I. Límites

Ejercicio 1.1: Calcula

$$ \lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{\ln{(8n^4 + 3n^2 + 5)}}{\ln{(5n^3 + n^2 + n - 4)}}}. $$

Ejercicio 1.2: Calcula

$$ \lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{2^n + 5}{5^n + 5}}. $$

Ejercicio 1.3: Calcula

$$ \lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{(3n^4 + n^2 - 3)(\cos{\left(\frac{1}{n}\right)} - 1)}{2n^2}}. $$

Ejercicio 1.4: Calcula

$$ \lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{n}{3}\ln{((n+a)(n+b)(n+c))} - \ln{(n^n)}}. $$

Ejercicio 1.5: Calcula

$$ \lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{2n + (-1)^n(n+2)}{7n+3}}. $$

Ejercicio 1.6: Calcula

$$ \lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{\sqrt{1} + \sqrt{2} + \sqrt{3} + \cdots + \sqrt{n}}{n\sqrt{n}}}. $$

Ejercicio 1.7: Calcula

$$ \lim_{n\rightarrow\infty}{\sqrt[n]{\left(1+\frac{2}{n}\right)\left(1+\frac{4}{n}\right)\left(1+\frac{6}{n}\right)\cdots\left(1+\frac{2n}{n}\right)}}. $$

Ejercicio 1.8: Calcula

$$ \lim_{n\rightarrow\infty}{\sqrt[n]{(an+b)(an+2b)(an+3b)\cdots(an+nb)}}. $$

Ejercicio 1.9: Demuestra que la siguiente sucesión tiene límite y calcúlalo:

$$ \sqrt{1}, \sqrt{1 + \sqrt{1}}, \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1}}},\ldots. $$

Ejercicio 1.10: Demuestra que la sucesión

$$ a_1 = \sqrt{k}, a_2 = \sqrt{k + \sqrt{k}}, a_3 = \sqrt{k + \sqrt{k + \sqrt{k}}},\ldots $$

con $k > 0$, es convergente y halla su límite.

Ejercicio 1.11: Es fácil demostrar que

$$ 3 = \sqrt{6 + \sqrt{6 + \sqrt{6 + \cdots}}}. $$

¿Para cuántos valores naturales $x$, tales que $1\leq x\leq 1000$, se cumple que

$$ \sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x + \cdots}}} $$

es un número natural?

Ejercicio 1.12: Sea

$$ x = \sqrt{a + \sqrt{a + \sqrt{a + \cdots}}}. $$

(a) Halla $x$.
(b) Halla una relación tal que a cada número natural le corresponde un valor $a$ tal que $x$ sea racional.
(c) Demuestra que, para cada número natural $n$, $x = n+1$.

Ejercicio 1.13: Dada la sucesión

$$ x_{n+1} = 1 - \sqrt{1 - x_n}, $$

de manera que $0 < x_1 < 1$, estudia su convergencia y calcula

$$ \lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{x_{n+1}}{x_n}}. $$

II. Progresiones aritméticas

Ejercicio 2.1: (Comunidad Valenciana (2016)) Con un solo corte recto puedes dividir un pastel circular en dos partes. Un segundo corte, que atraviese al primero, producirá probablemente cuatro partes, y un tercer corte puede llegar a producir siete partes. ¿Cuál es el mayor número de trozos que puedes lograr con seis cortes rectos? ¿Y, en general, cuántos pedazos de tarta se obtienen con $n$ cortes? ( Discusión)

Ejercicio 2.2: Halla la suma de todas las fracciones irreducibles de denominador $3$ comprendidas entre $3$ y $6$. Generaliza el resultado para la suma de todas las fracciones irreducibles de denominador $3$ comprendidas entre los enteros $m$ y $n$, con $m < n$. ( Discusión)

Ejercicio 2.3: Disponemos los números naturales en la forma siguiente:

$$ \begin{aligned} & & & & & & & 1 & & & & & &\\ & & & & & 2 & & 3 & & 4 & & & &\\ & & & 5 & & 6 & & 7 & & 8 & & 9 & &\\ & 10 & & 11 & & 12 & & 13 & & 14 & & 15 & & 16 \end{aligned} $$

(a) Calcula la suma $S_n$ de los números situados en la $n$-ésima fila.
(b) Halle $$ \lim_{n\rightarrow\infty}{\left(\sqrt[3]{S_{n+1}} - \sqrt[3]{S_n}\right)}. $$

III. Progresiones geométricas

Ejercicio 3.1: Sea la progresión geométrica $1,3,9,27,81,\ldots$.

(a) ¿Cuál es el término de lugar $n$? Demuestra que las diferencias primeras también forman una progresión geométrica. Generaliza el resultado para las diferencias de cualquier orden.
(b) Calcula las siguientes sumas. ¿Qué forma toman cuando se hace $x=1$? ¿Cuál es el verdadero valor en $x=1$?

$$ \begin{aligned} A_n &= x + x^2 + x^3 + \cdots + x^n,\\ B_n &= 1 + 2x + 3x^2 + \cdots + nx^{n-1}. \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} C_n &= 1 + 3x^2 + 5x^4 + \cdots + (2n+1)x^{2n},\\ D_n &= 1 + 4x + 9x^2 + \cdots + n^2x^{n-1}. \end{aligned} $$

Última actualización el 2020-03-04