Enunciados propuestos (X)

¡Partiendo pasteles!

Fotografía de Gloria Madroñal, disponible en Instagram.

Nueva entrega de enunciados propuestos de cara a la preparación de oposiciones para la especialidad de matemáticas. La colección completa está disponible aquí.


Ejercicio 1: Para cada entero no negativo $n$, se considera

$$ P(n) = \frac{n^7}{7} + \frac{n^3}{3} + \frac{11n}{21}. $$

  • (a) Demuestra que $3n^7 + 7n^3 + 11n = 0$ en $\mathbb{Z}_3$ y en $\mathbb{Z}_7$.
  • (b) Demuestra que $P(n)$ es un número entero.

Ejercicio 2: Dado un número primo $p\geq 7$, prueba que el número $111\cdots111$ (formado por $p-1$ unos) es divisible por $p$.


Ejercicio 3: Sea $n$ un número natural y el conjunto de fracciones

$$ A_n = \left\{\frac{1}{n},\frac{2}{n},\ldots,\frac{n}{n}\right\}. $$

Calcula el número de fracciones irreducibles y la suma de estas.


Ejercicio 4: Calcula el menor número natural $n$ tal que se cumpla que

$$ \begin{aligned} n&\equiv 4\pmod{5},\\ n&\equiv 3\pmod{7},\\ n&\equiv 1\pmod{9}. \end{aligned} $$


Ejercicio 5: (Comunidad Valenciana (2016)) Con un solo corte recto puedes dividir un pastel circular en dos partes. Un segundo corte, que atraviese al primero, producirá probablemente cuatro partes, y un tercer corte puede llegar a producir siete partes. ¿Cuál es el mayor número de trozos que puedes lograr con seis cortes rectos? ¿Y, en general, cuántos pedazos de tarta se obtienen con $n$ cortes?


Ejercicio 6: En una ciudad, el $55%$ de sus habitantes consume aceite del tipo $A$, el $30%$ del tipo $B$ y el $20%$ de ambos tipos de aceite. Se escoge una persona al azar.

  • (a) Si esta consume aceite del tipo $A$, ¿cuál es la probabilidad de que consuma también del tipo $B$?
  • (b) Si consume del tipo $B$, ¿cuál es la probabilidad de que no consuma del tipo $A$?
  • (c) ¿Cuál es la probabilidad de que no consuma aceite del tipo $A$ ni del tipo $B$?

Alexis Sáez
Alexis Sáez
Profesor de matemáticas

Cazador de problemas matemáticos en parajes opositores.

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