Enunciados propuestos (XXXIX)

Nos adentramos en el terreno de las sucesiones

Fotografía de Tolga Ahmetler, disponible en Unsplash.

Nueva entrega de enunciados propuestos de cara a la preparación de oposiciones para la especialidad de matemáticas. La colección completa está disponible aquí.


Ejercicio 1: Calcula

$$ \lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{\sqrt{1} + \sqrt{2} + \sqrt{3} + \cdots + \sqrt{n}}{n\sqrt{n}}}. $$


Ejercicio 2: Calcula

$$ \lim_{n\rightarrow\infty}{\sqrt[n]{\left(1+\frac{2}{n}\right)\left(1+\frac{4}{n}\right)\left(1+\frac{6}{n}\right)\cdots\left(1+\frac{2n}{n}\right)}}. $$


Ejercicio 3: Calcula

$$ \lim_{n\rightarrow\infty}{\sqrt[n]{(an+b)(an+2b)(an+3b)\cdots(an+nb)}}. $$


Ejercicio 4: Sea la progresión geométrica $1,3,9,27,81,\ldots$.

  • (a) ¿Cuál es el término de lugar $n$? Demuestra que las diferencias primeras también forman una progresión geométrica. Generaliza el resultado para las diferencias de cualquier orden.
  • (b) Calcula las siguientes sumas. ¿Qué forma toman cuando se hace $x=1$? ¿Cuál es el verdadero valor en $x=1$?

$$ \begin{aligned} A_n &= x + x^2 + x^3 + \cdots + x^n,\\ B_n &= 1 + 2x + 3x^2 + \cdots + nx^{n-1}. \end{aligned} $$

  • (c) Responde a las mismas preguntas del apartado anterior para las sumas

$$ \begin{aligned} C_n &= 1 + 3x^2 + 5x^4 + \cdots + (2n+1)x^{2n},\\ D_n &= 1 + 4x + 9x^2 + \cdots + n^2x^{n-1}. \end{aligned} $$


Ejercicio 5: Demuestra que la siguiente sucesión tiene límite y calcúlalo:

$$ \sqrt{1}, \sqrt{1 + \sqrt{1}}, \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1}}},\ldots. $$


Ejercicio 6: Demuestra que la sucesión

$$ a_1 = \sqrt{k}, a_2 = \sqrt{k + \sqrt{k}}, a_3 = \sqrt{k + \sqrt{k + \sqrt{k}}},\ldots $$

con $k > 0$, es convergente y halla su límite.


Ejercicio 7: Es fácil demostrar que

$$ 3 = \sqrt{6 + \sqrt{6 + \sqrt{6 + \cdots}}}. $$

¿Para cuántos valores naturales $x$, tales que $1\leq x\leq 1000$, se cumple que

$$ \sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x + \cdots}}} $$

es un número natural?


Ejercicio 8: Sea

$$ x = \sqrt{a + \sqrt{a + \sqrt{a + \cdots}}}. $$

  • (a) Halla $x$.
  • (b) Halla una relación tal que a cada número natural le corresponde un valor $a$ tal que $x$ sea racional.
  • (c) Demuestra que, para cada número natural $n$, $x = n+1$.

Ejercicio 9: Dada la sucesión

$$ x_{n+1} = 1 - \sqrt{1 - x_n}, $$

de manera que $0 < x_1 < 1$, estudia su convergencia y calcula

$$ \lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{x_{n+1}}{x_n}}. $$


Ejercicio 10: Disponemos los números naturales en la forma siguiente:

$$ \begin{aligned} & & & & & & & 1 & & & & & &\\ & & & & & 2 & & 3 & & 4 & & & &\\ & & & 5 & & 6 & & 7 & & 8 & & 9 & &\\ & 10 & & 11 & & 12 & & 13 & & 14 & & 15 & & 16 \end{aligned} $$

  • (a) Calcula la suma $S_n$ de los números situados en la $n$-ésima fila.
  • (b) Halle $$ \lim_{n\rightarrow\infty}{\left(\sqrt[3]{S_{n+1}} - \sqrt[3]{S_n}\right)}. $$

Alexis Sáez
Alexis Sáez
Profesor de matemáticas

Cazador de problemas matemáticos en parajes opositores.

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