Fotografía de Tolga Ahmetler, disponible en Unsplash.
Nueva entrega de enunciados propuestos de cara a la preparación de oposiciones para la especialidad de matemáticas. La colección completa está disponible aquí.
Ejercicio 1: Calcula
$$ \lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{\sqrt{1} + \sqrt{2} + \sqrt{3} + \cdots + \sqrt{n}}{n\sqrt{n}}}. $$
Ejercicio 2: Calcula
$$ \lim_{n\rightarrow\infty}{\sqrt[n]{\left(1+\frac{2}{n}\right)\left(1+\frac{4}{n}\right)\left(1+\frac{6}{n}\right)\cdots\left(1+\frac{2n}{n}\right)}}. $$
Ejercicio 3: Calcula
$$ \lim_{n\rightarrow\infty}{\sqrt[n]{(an+b)(an+2b)(an+3b)\cdots(an+nb)}}. $$
Ejercicio 4: Sea la progresión geométrica $1,3,9,27,81,\ldots$.
- (a) ¿Cuál es el término de lugar $n$? Demuestra que las diferencias primeras también forman una progresión geométrica. Generaliza el resultado para las diferencias de cualquier orden.
- (b) Calcula las siguientes sumas. ¿Qué forma toman cuando se hace $x=1$? ¿Cuál es el verdadero valor en $x=1$?
$$ \begin{aligned} A_n &= x + x^2 + x^3 + \cdots + x^n,\\ B_n &= 1 + 2x + 3x^2 + \cdots + nx^{n-1}. \end{aligned} $$
- (c) Responde a las mismas preguntas del apartado anterior para las sumas
$$ \begin{aligned} C_n &= 1 + 3x^2 + 5x^4 + \cdots + (2n+1)x^{2n},\\ D_n &= 1 + 4x + 9x^2 + \cdots + n^2x^{n-1}. \end{aligned} $$
Ejercicio 5: Demuestra que la siguiente sucesión tiene límite y calcúlalo:
$$ \sqrt{1}, \sqrt{1 + \sqrt{1}}, \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1}}},\ldots. $$
Ejercicio 6: Demuestra que la sucesión
$$ a_1 = \sqrt{k}, a_2 = \sqrt{k + \sqrt{k}}, a_3 = \sqrt{k + \sqrt{k + \sqrt{k}}},\ldots $$
con $k > 0$, es convergente y halla su límite.
Ejercicio 7: Es fácil demostrar que
$$ 3 = \sqrt{6 + \sqrt{6 + \sqrt{6 + \cdots}}}. $$
¿Para cuántos valores naturales $x$, tales que $1\leq x\leq 1000$, se cumple que
$$ \sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x + \cdots}}} $$
es un número natural?
Ejercicio 8: Sea
$$ x = \sqrt{a + \sqrt{a + \sqrt{a + \cdots}}}. $$
- (a) Halla $x$.
- (b) Halla una relación tal que a cada número natural le corresponde un valor $a$ tal que $x$ sea racional.
- (c) Demuestra que, para cada número natural $n$, $x = n+1$.
Ejercicio 9: Dada la sucesión
$$ x_{n+1} = 1 - \sqrt{1 - x_n}, $$
de manera que $0 < x_1 < 1$, estudia su convergencia y calcula
$$ \lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{x_{n+1}}{x_n}}. $$
Ejercicio 10: Disponemos los números naturales en la forma siguiente:
$$ \begin{aligned} & & & & & & & 1 & & & & & &\\ & & & & & 2 & & 3 & & 4 & & & &\\ & & & 5 & & 6 & & 7 & & 8 & & 9 & &\\ & 10 & & 11 & & 12 & & 13 & & 14 & & 15 & & 16 \end{aligned} $$
- (a) Calcula la suma $S_n$ de los números situados en la $n$-ésima fila.
- (b) Halle $$ \lim_{n\rightarrow\infty}{\left(\sqrt[3]{S_{n+1}} - \sqrt[3]{S_n}\right)}. $$
