Enunciados propuestos (XXXVIII)

Nos adentramos en el terreno de las sucesiones

Fotografía de Mika, disponible en Unsplash.

Nueva entrega de enunciados propuestos de cara a la preparación de oposiciones para la especialidad de matemáticas. La colección completa está disponible aquí.


Ejercicio 1: La Rana Gustavo, ‘‘el reportero más dicharachero’’, se encuentra en su hogar (muy coqueto este y ubicado, por cierto, en el origen de coordenadas, $(0,0)$, de una cuadrícula plana) disfrutando de su serie favorita. De repente, recibe una notificación en su móvil: ha de acudir, ipso facto, a cubrir una importante noticia que ha tenido lugar en la panadería de Barrio Sésamo, que se halla, según el GPS, en el punto de la cuadrícula de coordenadas $(5,5)$.

Por ciertos problemas acotencidos durante la última retransmisión, la Rana Gustavo únicamente puede desplazarse mediante saltos de longitud unitaria bien hacia la derecha, bien hacia arriba.

  • (a) Calcula el número total de rutas existentes entre su casa y la panadería de Barrio Sésamo.
  • (b) En el punto de la cuadrícula de coordenadas $(2,2)$, está plácidamente Espinete tomando el sol. La Rana Gustavo no quiere entretenerse hablando con él, pues tiene mucha prisa por cubrir la noticia, ¿de cuántas maneras puede llegar a la panadería sin pasar por donde está Espinete?
  • (c) Resulta, además, que Coco está esperando, en el punto de la cuadrícula de coordenadas $(3,3)$, a la primera persona que pase por allí para jugar una partida de ajedrez. Como la Rana Gustavo no está por la labor de tales entretenimientos, ¿de cuántas formas puede llegar a la panadería sin pasar por donde está Espinete ni por donde está Coco?

Ejercicio 2: Encuentra el inverso de $7$ en $\mathbb{Z}_{31}$.


Ejercicio 3: Una mujer compra $12$ vestidos, unos rojos y otros blancos, gastándose $1200$ euros. Si los trajes rojos valen $30$ euros más que los blancos, ¿cuántos vestidos ha comprado de cada color?


Ejercicio 4: En un corral hay conejos y gallinas, contándose $22$ patas. ¿Cuántas gallinas y conejos hay?


Ejercicio 5: Un jugador lanza una moneda. Si sale cara obtiene un punto positivo y si saca cruz un punto negativo. Supuesto que de entrada se le da un punto positivo y perderá cuando alcance una puntuación nula, calcula la probabilidad de perder:

  • (a) antes del lanzamiento $12$.
  • (b) en el lanzamiento $17$.

Ejercicio 6: Calcula

$$ \lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{\ln{(8n^4 + 3n^2 + 5)}}{\ln{(5n^3 + n^2 + n - 4)}}}. $$


Ejercicio 7: Calcula

$$ \lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{2^n + 5}{5^n + 5}}. $$


Ejercicio 8: Calcula

$$ \lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{(3n^4 + n^2 - 3)(\cos{\left(\frac{1}{n}\right)} - 1)}{2n^2}}. $$


Ejercicio 9: Calcula

$$ \lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{n}{3}\ln{((n+a)(n+b)(n+c))} - \ln{(n^n)}}. $$


Ejercicio 10: Calcula

$$ \lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{2n + (-1)^n(n+2)}{7n+3}}. $$


Alexis Sáez
Alexis Sáez
Profesor de matemáticas

Cazador de problemas matemáticos en parajes opositores.

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