Ecuaciones

I. Cuadráticas, cúbicas…

Ejercicio 1.1: Demuestra que $\sqrt[3]{45 + 29\sqrt{2}} + \sqrt[3]{45 - 29\sqrt{2}}$ es un número entero. ( Discusión)

Ejercicio 1.2: Sean $a$ y $b$ dos números enteros. Demuestra que la ecuación $(x - a)(x - b)(x - 3) = (-1)$ tiene, a lo sumo, una solución entera. ( Discusión)

II. En diferencias

Ejercicio 2.1: Resuelve $a_{n} = 2a_{n-1}$, sabiendo que $a_1 = 3$.

Ejercicio 2.2: Resuelve $a_{n+1} - 2a_n = 0$.

Ejercicio 2.3: Resuelve $a_{n+2} - 5a_{n+1} + 6a_n = 0$.

Ejercicio 2.4: Resuelve $a_{n+3} - 5a_{n+2} + 3a_{n+1} + 9a_n = 0$.

Ejercicio 2.5: Resuelve $a_{n+2} - a_{n+1} - 2a_n = 0$, sabiendo que $a_1 = 0$ y $a_2 = 5$.

Ejercicio 2.6: Resuelve $a_{n+2} + a_n = 0$.

Ejercicio 2.7: Resuelve $a_{n+2} + a_{n+1} + a_n = 0$.

Ejercicio 2.8: Resuelve $a_{n+2} - 5a_{n+1} + 6a_n = 3\cdot 5^n$.

Ejercicio 2.9: Resuelve $a_{n+2} - 5a_{n+1} + 6a_n = 7\cdot 2^n$.

Ejercicio 2.10: Resuelve $a_{n+2} - 5a_{n+1} + 6a_n = 2n + 3$.

Ejercicio 2.11: Resuelve $a_{n+2} - 7a_{n+1} + 6a_n = 2n + 3$.

Ejercicio 2.12: Dada la sucesión definida por

$$ \begin{aligned} a_1 &= 2,\\ \forall n\in\mathbb{N}-{1}: a_n &= 5a_{n-1} + 3, \end{aligned} $$

calcula

$$ \lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{a_n}{5^n}}. $$

Ejercicio 2.13: Los cuatro primeros términos de una sucesión son $a_0 = a_1 = a_2 = a_3 = 0$ y la ley que cumplen es

$$ a_{n+4} + a_{n+3} + 2a_{n+2} + a_{n+1} + a_n = 12n. $$

• (a) Halla $a_n$.
• (b) Halla $a_{90}$.

Ayuda: $x^4 + x^3 + 2x^2 + x + 1 = (x^2 + 1)(x^2 + x + 1)$.