Números enteros

I. Congruencias

Ejercicio 1.1: Determina todos los números naturales $m$ tales que $1066\equiv 1776\pmod{m}$.

Ejercicio 1.2: Demuestra que $4^n \equiv(1+3n)\pmod{9}$, para cada número natural $n$.

Ejercicio 1.3: Dado $(1! + 2! + \cdots + 100!)\pmod{45}$, encuentra el menor resto no negativo.

Ejercicio 1.4: Sea $n$ un número natural y $A_n = 2^n + 2^{2n} + 2^{3n}$.

(a) Demuestra que $A_{n+3}\equiv A_n\pmod{2}$.
(b) ¿Para qué valores de $n$ es $A_n$ múltiplo de $7$?
(c) Los números, en base $2$, $1110$, $1010100$ y $1001001000$, ¿son divisibles por $7$?

Ejercicio 1.5: Divide el número $101$ en dos partes tales que una sea múltiplo de $11$ y la otra sea múltiplo de $17$.

Ejercicio 1.6: ¿Qué enteros positivos, menores que $15$, tienen inverso módulo $15$? Encuentra los correspondientes inversos.

Ejercicio 1.7: Encuentra todos los números naturales $n$ para los cuales se satisface que $1^n + 9^n + 10^n = 5^n + 6^n + 11^n$.

Ejercicio 1.8: Halla el dígito final de $9^{9^9}$.

Ejercicio 1.9: Calcula las dos últimas cifras de $2^{390}$.

Ejercicio 1.10: Sabiendo que $7^4 = 2401$, halla los tres últimos dígitos de $7^{9999}$.

Ejercicio 1.11: Resuelve en $\mathbb{Z}$ la ecuación $x^2 + x - 2\equiv 0\pmod{13}$.

II. mcd, mcm…

Ejercicio 2.1: Determina todos los pares de números naturales $(a,b)$ tales que $mcd(a,b) = 18$ y $mcm(a,b) = 540$.

Ejercicio 2.2: La suma de dos números vale $371$ y el cociente entre su mínimo común múltiplo y su máximo común divisor es $430$. Halla dichos números.

Ejercicio 2.3: Halla dos números naturales sabiendo que su máximo común divisor es $120$ y la diferencia de sus cuadrados asciende a $345600$.

Ejercicio 2.4: Demuestra que $mcd(14n+3, 21n+4)=1$, para cada número natural $n$.

Ejercicio 2.5: Determina todos los posibles valores de $mcd(3n+1, n^2+1)$, donde $n$ es un número natural.

Ejercicio 2.6: En una batalla, en la que participaron entre $10000$ y $11000$ soldados, resultaron muertos $23 / 165$ del total y heridos $35 / 143$ del total. Halla cuántos resultaron ilesos.

Ejercicio 2.7:

(a) Dados dos números $x$ e $y$, coprimos entre sí, prueba que $mcd(x+y, xy) = 1$.
(b) Dados dos números enteros $a$ y $b$, prueba que $mcd(a,b) = mcd(a+b, mcm(a, b))$.
(c) La suma de dos números naturales es $5264$ y su mínimo común múltiplo es $200340$, ¿cuáles son estos números?

Ejercicio 2.8: En una división, se conoce el dividendo, que es $258728$ y los restos sucesivos que se obtuvieron haciendo la división son $379$, $480$ y $392$. Halla el divisor y el cociente. ¿Existe más de una solución?

III. Jugando con cifras

Ejercicio 3.1: Si a un número de $3$ cifras le quitamos la cifra central, resulta la séptima parte del número inicial. ¿De qué número se trata?

Ejercicio 3.2: ¿Cuál es el número de tres cifras que es igual a doce veces la suma de sus cifras?

Ejercicio 3.3: Se consideran los números naturales escritos del modo usual en base $10$. Se pide:

(a) Encuentra el menor número tal que, al suprimir la primera cifra de la izquierda, quede reducido a su quinta parte.
(b) Demuestre que no existe ningún número que, al suprimirle su primera cifra de la izquierda, quede reducido a su doceava parte.

Ejercicio 3.4: ¿Cuántas cifras tiene el menor número que cumple que, cuando la primera cifra de la izquierda se coloca en el último lugar de la derecha, el número que resulta es una vez y media el número inicial?

Ejercicio 3.5: Encuentra el número natural más pequeño, con $6$ como cifra de las unidades, de manera que, si el $6$ se mueve al principio, el número queda multiplicado por cuatro.

Ejercicio 3.6: Halla un número de cinco cifras diferentes de manera que es igual a la suma de todos los de tres cifras que se pueden obtener con las variaciones ordinarias de dichas cifras tomadas de tres en tres.

Ejercicio 3.7:

(a) Halla el exponente de $2$ en la factorización de $10!$. ¿Cuál sería en el caso de $11!$?
(b) Halla el exponente de $3$ en la factorización de $212!$.

Ejercicio 3.8:

(a) ¿En cuántos ceros acaba el número $1000!$?
(b) Demuestra que $1000!$ no es divisible por $2^{995}$, pero sí por $2^{994}$.

Ejercicio 3.9: Convierte $100!$ a base octal. ¿En cuántos ceros termina $100!$ en base octal?

Ejercicio 3.10: ¿En cuántos ceros acaba $438_{(15}!$?

Ejercicio 3.11:

(a) ¿En cuántos ceros acaba $438_{(40}!$?
(b) ¿En cuántos ceros acaba $(55555_{(6}!)^3$?

Ejercicio 3.12: Calcula el número de ceros en que acaba $(15348_{(16}!)^5$, con la condición de que debe operarse en base $16$, sin pasar a base decimal, hasta el final.

IV. Criterios de divisibilidad

Ejercicio 4.1: (Galicia (2019)) Encuentra los criterios de divisibilidad por $4$ y por $13$. Aplica dichos criterios para determinar el mayor número de seis cifras divisible por $4$ y por $13$ simultáneamente.

Ejercicio 4.2: Halla el criterio de divisibilidad por $5$ y por $10$ de un número en base $9$. ¿Es múltiplo de $5$ el número $213246_{(9}$?

Ejercicio 4.3: Halla el criterio de divisibilidad por $5$ en base $12$ y aplícalo al número $12x75_{(12}$ para que sea divisible por $5$.

Ejercicio 4.4: Halla el conjunto de los divisores del número $1001$. Sean $N = a_0 + a_1t + \cdots + a_nt^n$ y $S = a_0 - a_1 + a_2 - \cdots + (-1)^na_n$, donde $t=1000$ y $a_n$ es un número entero, para cada $n\in\mathbb{N}\cup{0}$. Demuestra que $N\equiv S\pmod{1001}$. Deduce de ello un criterio de divisibilidad por $7$, por $11$ o por $13$, y aplícalo al número $312879645$.

Ejercicio 4.5: Demuestra que

(a) un número en base $7$ es par si, y solo si, la suma de sus cifras es par.
(b) un número es divisible por $25$ si, y solo si, acaba en $00$, $25$, $50$ o $75$.

V. Divisibilidad

Ejercicio 5.1: Prueba que, si $n$ es un número natural, $3^{2 ^ n}+1$ es divisible por $2$, pero no por $4$.

Ejercicio 5.2: Sean $a$, $b$, $c$ y $d$ números enteros cualesquiera. Prueba que

$$ abcd(a^2 - b^2)(a^2 - c^2)(a^2 - d^2)(b^2 - c^2)(b^2 - d^2)(c^2 - d^2) $$

es divisible por $7$.

Ejercicio 5.3: Dado el número $123456789101112\cdots100$, donde los números escritos son los naturales sin espacios, estudia si es múltiplo de $9$.

Ejercicio 5.4:

(a) Estudia, según los valores del número natural $n$, el resto de la división de $7^n$ entre $9$.
(b) ¿Para qué valores de $n$ se cumple que $16^{3n} + 16^n - 2$ es múltiplo de $9$?
(c) Permutando las cifras del número $1223334444555556666667777777$, ¿podrá obtenerse un cuadrado perfecto?

Ejercicio 5.5: Calcula el menor múltiplo de $23$ cuyas cifras son todas nueves.

Ejercicio 5.6: Demuestra que, siendo $n$ un número entero, la expresión

$$ \frac{n^5 - 5n^3 + 4n}{n+2} $$

siempre es divisible por $24$.

Ejercicio 5.7: Demuestra que, si el número natural $p=abc_{(10}$ es divisible por $37$, los números $bca_{(10}$ y $cab_{(10}$ son divisibles por $37$.

Ejercicio 5.8: Demuestra que $n^5 - 5n^3 + 4n$ es múltiplo de $120$, para cada número natural $n$.

Ejercicio 5.9: (Murcia (2002)) Demuestra que $A_n = 2903^n - 803^n - 464^n + 261^n$ es divisible por $1897$, para cada número natural $n$.

Ejercicio 5.10: Halla los números enteros positivos $n$ tal que $n^4+2$ es divisible por $n+2$.

Ejercicio 5.11: ¿Cuántos números naturales $n$ cumplen que la expresión

$$ \frac{n^2 + 2011}{n+1} $$

es un número natural?

VI. Divisores

Ejercicio 6.1: Halla el número $2^n 5^m$, con $n$ y $m$ números naturales, sabiendo que la suma de sus divisores es $961$.

Ejercicio 6.2: Halla un número natural sabiendo que es múltiplo de $30$ y que la suma de sus $16$ divisores es $1440$.

Ejercicio 6.3: Un número natural tiene dos factores primos y ocho divisores naturales, la suma de los cuales es $320$. Halla el número.

Ejercicio 6.4: Halla el menor número entero $n$ que tiene $12$ divisores y solamente tres factores primos, cuya suma es $20$.

Ejercicio 6.5: Halla un número con $15$ divisores tal que la suma de todos estos divisores sea igual a $1767$.

Ejercicio 6.6: Un número natural $A$, descompuesto en producto de factores primos, es de la forma $A = a^x b^y c^z$. El número de divisores de $A$, $A^2$ y $A^3$ es, respectivamente, $60$, $315$ y $910$. El máximo común divisor de todos los posibles valores de $A$ es $900$. Hállalos.

Ejercicio 6.7: Demuestra que un número es un cuadrado perfecto si, y solo si, tiene un número impar de divisores.

VII. Cuadrados, cubos…

Ejercicio 7.1: Halla los dígitos $A$, $B$ y $C$, en base $10$, que satisfacen $AA = \sqrt{BBCC}$.

Ejercicio 7.2: Halla un número de cuatro cifras tal que sea igual al cubo de la suma de sus cifras.

Ejercicio 7.3: Encuentra los números de cuatro cifras, de la forma $abab$, que, disminuidos en una unidad, sean cuadrados perfectos.

Ejercicio 7.4: Encuentra un número de cuatro cifras $abcd$ de manera que $abcd = 11(a+b+c+d)^2$.

Ejercicio 7.5: Determina los números $n$ de tres cifras, divisibles por $11$, de manera que $n / 11$ es igual a la suma de los cuadrados de los dígitos de $n$.

Ejercicio 7.6: Encuentra un número $abcd$, de $4$ cifras en base $12$, tal que es cuadrado perfecto y, además, los números $ab$ y $cd$ son consecutivos en base $12$.

Ejercicio 7.7: Halla un número natural, cuadrado perfecto, tal que en base $7$ se escribe como $ab0cb$, siendo $a = c + 1$.

Ejercicio 7.8: Demuestra que no es posible expresar $2019$ como suma de dos cuadrados perfectos.

Ejercicio 7.9: Encuentra el menor número natural $n$ tal que $n / 2$ es cuadrado perfecto, $n / 3$ es cubo perfecto y $n / 7$ es potencia séptima perfecta.

Ejercicio 7.10: Si $a=11\cdots 11$ es un número con $2n$ dígitos y $b=22\cdots 22$ es uno que posee $n$ dígitos, prueba que $a-b$ es un cuadrado perfecto.

Ejercicio 7.11: Halla un número natural $n$ tal que su cuadrado tenga $202$ dígitos: los primeros $100$ (desde la izquierda) todos iguales a $1$, los siguientes $100$ todos iguales a $2$ y los dos últimos, desconocidos. Es decir, de la forma $111\cdots111222\cdots222xy$.

Ejercicio 7.12: Se tienen los números $49$, $4489$, $444889$, $\ldots$ obtenido cada uno intercalando $48$ en el centro del anterior. Demuestra que todos estos números son cuadrados perfectos y halla la raíz cuadrada del que consta de $2n$ cifras.

Ejercicio 7.13: Determina todos los valores de $k$ para los cuales el número $11\cdots 11$, compuesto por $k$ unos, es un cuadrado perfecto. (Discusión)

VIII. Primalidad

Ejercicio 8.1: Encuentra diez números compuestos consecutivos.

Ejercicio 8.2: Demuestra que $8^n + 1$ no es un número primo, para cada número natural $n$.

IX. Fermat y compañía

Ejercicio 9.1: Halla

(a) el resto de dividir $4^{26} + 5^{28}$ entre $7$.
(b) la última cifra de $8^{254}$.
(c) el criterio de divisibilidad por $6$ en base $7$. ¿Es divisible $34500010_{(7}$ entre $6$?

Ejercicio 9.2: Halla el resto de dividir $2^{55}$ entre $7$.

Ejercicio 9.3: Demuestra que $2222^{5555} + 5555^{2222}$ es múltiplo de $7$.

Ejercicio 9.4: Halla todos los números naturales $n$ tales que $2^n + 3^n$ es un múltiplo de $7$.

Ejercicio 9.5: Prueba que

$$ A_k = 2^{2^{6k+2}}+3 $$

es múltiplo de $19$, para todo número natural $k$.

Ejercicio 9.6: Prueba que $(27 ^ 4) ^ 9 - (25 ^ 3) ^ 6$ es múltiplo de $37$.

Ejercicio 9.7: Halla el resto de la división por $11$ de $37^{437}$.

Ejercicio 9.8: Demuestra que $n^7 - n$ es múltiplo de $42$, para cada número natural $n$.

Ejercicio 9.9: Halla el resto de dividir $13!$ entre $17$.

Ejercicio 9.10: Halla el menor residuo positivo al dividir

(a) $5^{500}$ entre $17$.
(b) $12!$ entre $13$.

Ejercicio 9.11: Prueba que $437$ es divisor de

(a) $16^{99} - 1$.
(b) $18! + 1$.

Ejercicio 9.12: Calcula el resto cuando $90!$ se divide por $97$.

Ejercicio 9.13: Calcula las dos últimas cifras de $3^{390}$.

Ejercicio 9.14: Calcula las dos últimas cifras de $31^{263}$.

Ejercicio 9.15: Para cada entero no negativo $n$, se considera

$$ P(n) = \frac{n^7}{7} + \frac{n^3}{3} + \frac{11n}{21}. $$

(a) Demuestra que $3n^7 + 7n^3 + 11n = 0$ en $\mathbb{Z}_3$ y en $\mathbb{Z}_7$.
(b) Demuestra que $P(n)$ es un número entero.

Ejercicio 9.16: Sea $p$ un número primo impar. Demuestra que

(a) $(1^{p-1} + 2^{p-1} + \cdots + (p-1)^{p-1})\equiv (-1)\pmod {p}$.
(b) $(1^p + 2^p + \cdots + (p-1)^p)\equiv 0\pmod{p}$.

Ejercicio 9.17: Dado un número primo $p\geq 7$, prueba que el número $111\cdots111$ (formado por $p-1$ unos) es divisible por $p$.

Ejercicio 9.18: Demuestra que si $p$ es un número primo impar, se cumple que $p$ divide a $2^{p-1}-2$.

Ejercicio 9.19: Sea $n$ un número natural y el conjunto de fracciones

$$ A_n = \left\{\frac{1}{n},\frac{2}{n},\ldots,\frac{n}{n}\right\}. $$

Calcula el número de fracciones irreducibles y la suma de estas.

X. Teorema chino del resto

Ejercicio 10.1: Calcula el menor número natural $n$ tal que se cumpla que

$$ \begin{aligned} n&\equiv 4\pmod{5},\\ n&\equiv 3\pmod{7},\\ n&\equiv 1\pmod{9}. \end{aligned} $$

Ejercicio 10.2: Resuelve la ecuación en congruencias $7x\equiv 6\pmod{100}$. (Discusión)

Ejercicio 10.3: ¿Existe algún entero positivo $x$ tal que cuando $x$ se divide entre 3, se obtiene un residuo igual a $2$; cuando $x$ se divide entre $5$, se obtiene de resto $4$; y cuando $x$ se divide entre $7$, el resto es igual a $6$?

Ejercicio 10.4: Encuentra las soluciones del siguiente sistema de ecuaciones en congruencias lineales:

$$ \begin{aligned} x&\equiv 3\pmod{5},\\ x&\equiv 4\pmod{7},\\ x&\equiv 6\pmod{9}. \end{aligned} $$

Ejercicio 10.5: Determina el entero positivo más pequeño que deja de resto $1$, $2$, $3$ y $4$ cuando se divide, respectivamente, por $2$, $3$, $5$ y $11$.

Ejercicio 10.6: El matemático y poeta chino Sun Tsu planteó, hace alrededor de $1800$ años, el siguiente problema: ‘‘Tengo un conjunto de objetos. Cuando los cuanto de tres en tres, me sobran dos; cuando los cuento de cinco en cinco, me sobran tres; y cuando los cuento de siete en siete, me sobran dos. ¿Cuántos objetos poseo?'’.

Ejercicio 10.7: Resuelve la ecuación en congruencias $91x\equiv 419\pmod{440}$.

Ejercicio 10.8: Resuelve la ecuación en congruencias $3x\equiv 11\pmod{2275}$.

Ejercicio 10.9: Una mujer tiene un cesto de manzanas. Haciendo grupos de $3$ sobran $2$ y haciendo grupos de $4$ sobran $3$. Halla el número de manzanas que contiene el cesto sabiendo que están entre $100$ y $110$.

Ejercicio 10.10: A una isla llegan $17$ piratas para repartirse un botín que consiste en un saco con más de $100$ monedas de oro. Efectuado el reparto equitativo, sobra una moneda. Con el objetivo de que no sobre ninguna, los piratas deciden matar a uno de ellos y efectuar nuevamente el reparto equitativo, pero vuelve a sobrar una moneda.

(a) ¿Cuál es el número mínimo de monedas que contiene el saco?
(b) Conocido dicho número mínimo, ¿cuántos piratas morirán hasta que, efectuado el reparto equitativo, no sobre ninguna moneda?

Ejercicio 10.11: Una banda de piratas se apodera de un botín de piezas de oro iguales. Deciden repartírselo a partes iguales y el resto dárselo al cocinero chino, que recibe en este caso $3$ piezas. Los piratas pelean entre sí y mueren seis de ellos, con lo que en el nuevo reparto el cocinero chino se lleva $4$ piezas de oro. De regreso, el barco se hunde y se salvan el botín, seis piratas y el cocinero chino inmortal, con lo que el nuevo reparto le da ahora $5$ piezas al cocinero chino. ¿Cuál es la fortuna esperada por el cocinero chino cuando decide matar al resto de los piratas para quedarse el botín él solo si la banda era de $17$ piratas?

Última actualización el 2019-02-26